Высота PO правильной четырёхугольной пирамиды PABCD равна 4, а стороны основания ABCD равны 6. Точки M и N – середины отрезков BC и CD . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду PMNC . Ответ:12 /( 13+sqr(41) ). Нужно подробно...

Обозначения: О - центр основания (проекция вершины Р на основание, РО - высота пирамиды), К - середина MN.  MN = 3√2.  В треугольнике POM (или в PON, они равны) PO = 4; OM = 3; поэтому PN = PM = 5; PK = √(5^2 - (3√2/2)^2) = √(41/2); Площадь треугольника PMN Spmn = (3√2)*√(41/2)/2 = 3√41/2; Площади треугольников PCM и PCN равны 3*5/2 = 15/2; Площадь основания - треугольника CMN равна 3*3/2 = 9/2; Отсюда объем пирамиды PCMN V = (9/2)*4/3 = 6; Площадь всей поверхности S = 3√41/2 + 15/2 + 15/2 + 9/2 = 3(13 + √41)/2; Радиус вписанной сферы r = 3V/S = 3*6/(3(13 + √41)/2) = 12/(13 + √41);   Если не понятно, почему  r = 3V/S, то надо мысленно соединить центр сферы с вершинами пирамиды - тогда она разобьется на 4 пирамиды, в которых основаниями служат боковые грани, а высотами - радиусы сферы, проведенные в точки касания.