Реферат: Деформация сдвига. Геометрические характеристики плоских сечений. Кручение стержней с круглым поперечным сечением

. (7)

Размерность статических моментов – длина в кубе. Статические моменты могут быть положительными, отрицательными и равными нулю.

Считая, что поверхностная плотность ρ* сечения постоянна, координаты центра масс сечения z_c , y_c можно выразить через статические моменты

, (8)

аналогично

, (9)

где m_i – массы элементарных площадок сечения; М – масса сечения; А – площадь сечения; S_z и S_y – соответственно статические моменты сечения относительно координатных осей z и y .

Из выражений (8) и (9) видно, что при y_c = 0; z_c = 0, т.е. при прохождении координатных осей через центр масс С, статические моменты сечения относительно этих осей будут равны нулю , так как А ≠ 0. Такие координатные оси называют центральными . Это следствие можно выразить еще так: если статические моменты сечения относительно координатных осей равны нулю, т.е. S_z = 0, S_y = 0, то эти оси z , y проходят через центр масс сечения C .

Моменты инерции сечений

Полярным моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат их расстояния до данного полюса (точки). Из рис. 3

, (10)

где ρ – расстояние от площадки dA до полюса (точки 0).

Рис. 3 и 4

Осевым моментом инерции сечения называется взятая по всей площади сечения сумма произведений площадей элементарных площадок на квадрат их расстояния до оси. Так, моменты инерции сечения относительно координатных осей z и y будут соответственно равны

, (11)

. (12)

Так как ρ² = z² + y² , сравнив выражения (11), (12) и (13), получим

I_ρ = I_z + I_y , (13)

т.е. сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения рассматриваемых осей. Моменты инерции сечений – всегда положительные величины.

Моменты инерции прямоугольника, круга

Моменты инерции сечений вычисляются в следующей последовательности. Вначале находят момент инерции элементарной площадки dA относительно точки или оси. Считая, что число таких площадок стремится к бесконечности, далее вычисляют сумму моментов инерции площадок по всему сечению. Чаще всего детали типа стержней имеют форму поперечного сечения в виде круга или прямоугольника.

Вычислим момент инерции прямоугольника (рис. 4, а) с основанием b и высотой h относительно оси z , проходящей через центр масс параллельно основанию. За элементарную площадку dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy. Тогда

. (15)

Аналогично получим

I_y = hb³ /12. (16)

Рассмотрим круг (рис. 5.16, б). Сначала определим полярный момент инерции круга относительно геометрического центра С: .

За элементарную площадку dA примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dρ : dA = 2πρdρ. Тогда

. (17)

Найдем моменты инерции круга относительно координатных осей y , z , проходящих через центр масс С . Так как оси являются диаметром круга, то I_y = I_z . Поэтому выражение (5.38) можно представить как I_ρ =2 I_y = 2 I_z , откуда