Докажите, что сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом целого числа

формула 1 нечёт. числа2р-1,а 2 нечёт. числа2к-1.Найдём сумму квадратов этих чисел (2р-1)^2+(2к-1)^2=4р^2-4р+1+4к^2-4k+1=4(р^2+к^2)-4(р+к) +2=4(р^2+2рк+к^2-2рк) -4(р+к) +2=4(р+к) ^2-8рк-4(р+к) +2=(2(р+к) -1)^2+1-8рк т. е. не равно квадрату целого числа

:сумму квадратов двух нечетных чисел можно представить так: (2k+1)^2+(2n+1)^2=4k^2+4k+1+4n^2+4n+1=4k^2+4k+4n^2+4n+2=4(k^2+k+n^2+n)+2=4(k(k+1)+n(n+1))+2. Эта сумма не делится нацело на 4, (так как дает остаток 2), а при делении на 8 остаток тоже равен 2, так как (k(k+1)+n(n+1)) – число четное, ведь k(k+1) и n(n+1) – произведения двух последовательных натуральных чисел, одно из которых обязательно делится на 2. Значит, 4(k(k+1)+n(n+1)) делится на 8, а 2 на 8 не делится. Но мы знаем, что квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 дает в остатке 1, поэтому сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть квадратом целого числа.