Комбинатрика. Доказать, что : Sn = 1*1! + 2*2! +.n*n! = (n+1)! - 1

Докажем по методу математической индукции: S1 = 1*1! = 1*1 = 1; S1 = ( 1 + 1 )! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1 S2 = 1*1! + 2*2! = 5; S2 = ( 2 + 1 )! - 1 = 3! - 1 = 6 -1 = 5 Предположит что верно Sn = 1*1! + 2*2! + ... + n*n! = ( n +1 )! -1 ( индуктивное предположение ) Докажем, что верно Sn+1 = 1*1! + 2*2! + ... + n*n! + ( n + 1 )*( n +1 ) = ( ( n +1 ) +1 )! -1 = ( n + 2 )! - 1 Возьмем левую часть Sn+1 = 1*1! + 2*2! + ... + n*n! + ( n + 1 )*( n +1 ) = ( n + 1 )! - 1 + ( n + 1 )*( n + 1)! = ( n + 1 )!*( 1 + ( n+1 ) ) = ( n + 1 )!*( n+ 2 ) -1 = ( n + 2 )! -1 ( после первого знака = воспользовались индуктивным предположением ) Получили, что из истинности (верности) Sn следует истинность Sn+1 (истинность для единицы проверяли отдельно в самом начале) тогда это утверждение (Sn = ...) доказано по методу математической индукции