Lt;Планиметрическая задача из ЕГЭ по математикеgt;

Question

Lt;Планиметрическая задача из ЕГЭ по математикеgt;

<Планиметрическая задача из ЕГЭ по математике>Из точки М к окружности, радиус которой равен 6 см, проведены касательная, касающаяся окружности в точке С, и секущая, проходящая через центр О окружности и пересекающая ее в точках А и В так, что МА<МВ и МО=[6 корней из 2] см. Точка N делит дугу АС окружности в отношении AN:NC = 1:2. Найдите площадь треугольника CON.

Пожалуйста, помогите с решением! Задача вроде не сложная, но никак не получается... Хотя бы зацепиться за что-нибудь.
Заранее большое спасибо!

Гость

Ответ(ы) на вопрос:

Гость

Из треугольника ОСМ находишь МС по теореме Пифагора. MC^2=MO^2-OC^2, МО=6V2 это дано, ОС=6 это радиус. MC^2=72-36=36, MC=6/ Получается что треугольник ОСМ равнобедренный ОС=ОМ=6. Но он прямоугольный, так как радиус проведенный в точку касания перпендикулярен касательной. Раз он равнобедренный то у него углы при основании равны, и раз он прямоугольный, то они равны 45 градусов. Градусной мерой дуги называется величина соответствующего центрального угла. Угол АОN обозначаешь за х, угол NОС за у. Имеешь х+у=45 и х/у=1/2. Из второго уравнения у=2х. Подставляешь в первое х+2х=45, 3х=45, х=15. Следовательно угол NОС=30 градусов. Все. Площадь треугольника СОN равна 1/2*OC*ON*sinNOC=1/2*6*6*sin30=18*1/2=9. Ответ 9.

Accepted Answer

Треуг. СОМ-прямоугольный (ОС-радиус в точку касания под 90 градусов) СМ по т. Пифагора: СМ=корень ((6корней2)^2 - 6^2)=6 Значит треуг СОМ - равнобедренный (СО = 6 - радиус) =>угол СОМ =углу М =45 градусов Так как угол СОМ = 45, то дуга СNA = тоже 45 градусов, потому как угол СОА-центральный Дуга CN=45:3*2=30 градусов => угол CON= 30 град. как центральный. Получили что в треуг. CON сторонаОС=6, ОN=6 - как радиусы и угол между ними 30 град. Дальше применяй формулу площади треугольника.