Нужны свойства определенного интеграла.

Осн. св-ва опр. инт. . Т. 1. Если ф-ии f(x) и g(x) инт. на [a,b], M и N – произвольные числа, то ∫ab[Mf(x)+Ng(x)]dx = M∫abf(x)dx + N∫abg(x)dx. Док-во: каково бы ни было разбиение R [a,b], справедливо равенство для инт. сумм Σi=0n-1[Mf(ξi)+Ng(ξi)]Δxi = MΣi=0n-1f(ξi)Δxi + NΣi=0n-1g(ξi)Δxi. По условию теоремы  предел правой ч. при λR→0   и предел левой ч.  получается искомое равенство. Сл. 1. ∫abMf(x)dx = M∫abf(x)dx. Сл. 2. ∫ab[f(x)+g(x)]dx = ∫abf(x)dx + ∫abg(x)dx. Т. 2. Если ф-ия f(x) инт. на [a,c] и [c,b], то она инт. на [a,b] и ∫abf(x)dx = ∫aсf(x)dx + ∫сbf(x)dx. Т. 3. Если ф-ии f(x) и g(x) инт. на [a,b] (a<b)>0  f(ξi)Δxi  g(ξi)Δxi и Σi=0n-1f(ξi)Δxi  Σi=0n-1g(ξi)Δxi. Переходя к пределу при λR→0, получаем требуемое нер-во. Сл. Если на [a,b] ф-ия f(x) инт. и удовл. mf(x)M, то выполняются нер-ва m(b-a)∫abf(x)dxM(b-a). Т. 4. Если ф-ия y=f(x) инт. на [a,b], то инт. и |f(x)|, причём |∫abf(x)dx||∫ab|f(x)|dx|. Т. 5. Если ф-ия y=f(x) непрерывн. на [a,b], то найдётся такая т. ξ(a,b)  ∫abf(x)dx=(b-a).f(ξ). Док-во: a