Решение симметричных систем уравнений

Любое симметрическое выражение (от двух переменных) можно выразить через элементарные u=x+y и v=xy. (В случае трёх переменных: u=x+y+z, v=xy+yz+zx, w=xyz.) Иногда это облегчает решение. Иногда удобнее использовать другие (симметрические) комбинации переменных, скажем, x²+y² и xy (вместо x+y, xy). { x+xy+y=5, { x²+xy+y²=7; { u+v=5, { u²−v=7; { v=5−u, { u²+u−5=7; { v=5−u, { u²+u−12=0, { v=5−u, { [ u=3, { [ u=−4, [ { x+y=3, [ { xy=2, [ [ { x+y=−4, [ { xy=9. Первая система даёт (x; y) = (1; 2) или (2; 1). Вторая решений не имеет. ========== Как можно решать систему { x+y=u, { xy=v. По теореме Виета числа x, y — корни уравнения z²−uz+v=0. По найденным z₁, z₂ получаем два решения системы: (x; y) = (z₁; z₂), (z₂, z₁).