Задача Наполеона. Геометрия.

Пусть события происходят на комплексной плоскости; вершинам A, B, C исходного треугольника соответствуют (комплексные) числа a, b, c, причём контур A→B→C→A обходится против хода часовой стрелки. Найдём числа a₁, b₁, c₁, соответствующие точкам A₁, B₁, C₁ на примере a₁. Середине стороны BC соответствует число ½(b+c). Высота треугольника A₁BC, опущенная из A₁, перпендикулярна BC и равна по длине ½√3 BC. Повороту вокруг нуля против хода часовой стрелки на комплексной плоскости соответствует умножение на i. Поэтому a₁ = ½(b + c) + ½i√3(b − c). Аналогично, b₁ = ½(c + a) + ½i√3(c − a) c₁ = ½(a + b) + ½i√3(a − b). Итак, известны числа a₁, b₁, c₁, нужно «построить» a, b, c. Рассмотрим выражение a₂ = ½(b₁ + c₁) − ½i√3(b₁ − c₁). Соответствующая точка A₂ — третья вершина правильного треугольника, построенного на стороне B₁C₁ треугольника A₁B₁C₁ во внутреннюю сторону, то есть легко строится по точкам A₁, B₁, C₁. a₂ = ½(½(c + a) + ½i√3(c − a) + ½(a + b) + ½i√3(a − b)) − − ½i√3(½(c + a) + ½i√3(c − a) − ½(a + b) − ½i√3(a − b)) = = ½a + ¼b + ¼c + ¾c + ¾b − ³⁄₂a + + ¼i√3(c − a + a − b − c − a + a + b) = = b + c − a. То есть A₂BAC — параллелограмм. Аналогично, построим на сторонах A₁B₁, C₁A₁ треугольника A₁B₁C₁ правильные треугольники A₁B₁C₂, A₁B₂C₁ во внутреннюю сторону. Четырёхугольники B₂ABC, C₂BCA суть параллелограммы. Искомые точки A, B, C — середины сторон треугольника A₂B₂C₂ (ABC — треугольник, образованный средними линиями A₂B₂C₂).