Дипломная работа: Нахождение всех действительных корней алгебраического многочлена методом деления отрезка пополам (бисекции)

y y

F(x) F(x)

xx в) г)

а) F’(x) < 0

F’’(x) > 0

б) F’(x) > 0

F’’(x) > 0

в) F’(x) < 0

F’’(x) < 0

г) F’(x) > 0

F’’(x) < 0

Способ хорд	Способ касательных
F’(x)F’’(x) > 0	С недостатком	С избытком
F’(x)F’’(x) < 0	С ибытком	С недостатком

Таким образом, если хорда (касательная) дает значение корня с избытком, то этот корень берется с качестве новой правой границы, а если с недостатком – то левой. В обоих случаях точный корень лежит между точками пересечения хорды и касательной с осью абсцисс.

Замечание 2 к методу хорд и касательных. Так как для решения поставленной задачи требуется отыскание производной функции F(x), метод хорд и касательных достаточно трудно реализуем на программном уровне, т.к. правила вычисления производных в общем виде довольно громоздки для «понимания» ЭВМ; при непосредственном указании производной для каждой степени многочлена память компьютера серьезно загружается, что очень замедляет работу, а задание функции и, соответственно, ее производной непосредственно в программном коде – недопустимо. Однако, используя данный метод, сходимость интервала к корню происходит наиболее быстро, особенно если совместить метод хорд и касательных с методом бисекции, т.к. середина нового отрезка зачастую дает вполне удовлетворительное решение.

2.2.2. Метод итераций

Пятый шаг алгоритма хорд и касательных определял возврат к первому шагу и последующую цикличность хода, т.е. метод хорд и касательных являлся итерационным. Другой метод, также основанный на повторах так и был назван – «метод итераций». Суть его заключается в следующем:

дана функция F(x);

определена допустимая погрешность Q;

определен некоторый интервал [ a , b ], точно содержащий решение уравнения.

Определено некоторое число z, принадлежащее [ a , b ] (назовем z «нулевым приближением»)

Для получения следующего приближения подставим в формулу (1) вместо XZ, получим:

x1=F(z) (4)

и, продолжая аналогично,

x2=F(x1)

x3=F(x2) (5)

…

xn=F(xn-1)

Таким образом, получаем некоторую последовательность, и, если ее предел (6)

limxn=A, nv (6)

то А является искомым корнем.