При реализации поставленной цели и доказательстве предложенной гипотезы мы использовали следующие методы исследования: беседы с учителями, анализ психолого-педагогической и методической литературы, наблюдение, сравнительный анализ, опытное преподавание.

Работа состоит из введения, двух глав, раскрывающих основное содержание, заключения и библиографического списка. Работа также содержит приложение в форме учебно-методического пособия для обучения школьников приемам быстрого счета.

1. Требования к вычислительным умениям
и навыкам учащихся

1.1 Понятие математических навыков

Одной из основных задач преподавания курса математики в школе является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков.

Вычислительные навыки – важная составляющая математических навыков. Поэтому для начала нужно рассмотреть их общее понятие. Большая часть математических навыков – это сложные навыки, формирующиеся на основе других умений и навыков. Так, навык сложения дробей с разными знаменателями основан на умении находить наименьшее общее кратное двух натуральных чисел, применять основное свойство дроби при приведении дробей к общему знаменателю, складывать дроби с одинаковыми знаменателями. В свою очередь каждые из указанных умений и навыков также имеют сложную структуру. Отсутствие какого-либо из элементарных умений и навыков служит причиной несформированности сложного навыка.

Общеизвестно, что умения и навыки быстрее усваиваются и дольше сохраняются, если их формирование происходит на сознательной основе (дидактический принцип сознательности). Тренировки без достаточного понимания изучаемого редко приводят к прочным умениям и навыкам. Поэтому формированию навыков учащихся должно предшествовать понимание ими сути изучаемого действия.

Формирование математических навыков состоит из следующих этапов:

1. Первый этап формирования навыка – овладение умением. При овладении умением в вычислениях или тождественных преобразованиях первые упражнения на применение нового приема, метода, определения должны выполняться с подробными объяснениями и записями. Так, при изучении деления рациональных чисел следует подробно разъяснять смысл нового действия, алгоритм его выполнения. Подробные разъяснения и записи помогают ученикам лучше понять смысл и последовательность выполнения изучаемого действия. Именно поэтому на этом этапе при формировании вычислительных навыков предпочтительнее использовать письменные вычисления. Но процесс формирования навыка не ограничивается овладением умением.

2. Второй этап – этап автоматизации умения. Автоматизация умения происходит путем исключения некоторых промежуточных операций, сложные ассоциации заменяются прямыми (или спрямленными) ассоциациями от данных к искомому. Так, если умение реализуется по схеме, А→В→С , где В - промежуточное действие, то навык – чаще всего по прямой схеме А→С . Поэтому следует помочь ученикам перейти от сложной схемы действий к более простой. Это означает, что после выполнения первых упражнений надо добиваться свертывания промежуточных операций, для чего полезно часть преобразований выполнять мысленно, опуская промежуточные записи. При формировании вычислительных навыков на этом этапе используют письменные вычисления с промежуточными устными.

Актуальным является методическое требование выполнять устно вычисления и преобразования не только во время так называемых пятиминуток устного счета. При решении любых задач, на каждом этапе урока все вычисления и выкладки, которые ученики могут выполнять устно, должны быть устно и выполнены. И дело не только в том, что на лишние записи тратится драгоценное время урока. Гораздо хуже то, что учащихся с самого начала приучают не думать при вычислениях, а только применять стандартный алгоритм, что в дальнейшем приводит ко многим нерациональным решениям, к новым большим потерям учебного времени, к слабо развитым вычислительным умениям и навыкам. Привычка выполнять устно несложные вычисления и выкладки нередко порождает потребность производить мысленные эксперименты при решении задач, высказывать догадки, предположения о путях решения более сложных задач, мысленно (устно) проверяя истинность предположений. А это одно из главных условий обучения решению математических задач. Кроме того, по мере овладения навыками целесообразно не только опускать промежуточные записи, стремиться выполнять часть вычислений и преобразований устно, но и переписывать выражения после преобразований не одного, а 2–3 отдельных выражений, входящих в состав сложного выражения, что также сокращает записи и время решения задач.

Несколько слов нужно сказать и о проблеме рациональности в вычислениях. В требование рационального выполнения вычислений и преобразований включается как выбор и осуществление рационального пути выполнения упражнений и решения задач, так и их рациональная запись.

Выбору рационального пути решения всегда предшествует анализ данного для вычисления или преобразования выражения, выявление порядка заданных операций, мысленный эксперимент («Если поступить так, то получится то-то, а если иначе-то… Какой путь проще?»). На этой основе составляется план вычислений, преобразований. Обдуманное составление плана существенно помогает выбору рационального пути решения. Рациональное же решение – способ развития мышления учащихся, формирования высокоразвитых, осмысленных умений и навыков, свидетельствующий о бережном отношении учителя к учебному времени учащихся. Рассмотрение различных вариантов преобразования одного и того же выражения и выбор наиболее рационального – один из путей обучения рациональным решениям.

Рациональное выполнение вычислений и тождественных преобразований требует нестандартных решений, следовательно, служит формированию более прочных умений и навыков. Задача учителя систематически обращать внимание школьников на рационализацию вычислений и преобразований.

Форма записи решения задач может иметь немалое значение в формировании навыков. Не следует рекомендовать единую форму записи решения на всех этапах обучения, в процессе отработки умений и навыков форма записи вычислений и тождественных преобразований должна, как правило, упрощаться.

Таким образом, подчеркнув особенности математических навыков, можно переходить к рассмотрению частного случая – вычислительным навыкам.

1.2 Требования к вычислительным умениям и навыкам

О наличии у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально организовывать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов.

В зависимости от сложности задания на практике используются три вида вычислений: письменное, устное и письменное с промежуточными устными вычислениями.

Качество вычислительных умений определяется знанием правил и алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно владение некоторыми вычислительными умениями доводить до навыка.

Вычислительные навыки отличаются от умений тем, что выполняются почти бесконтрольно. Такая степень овладения умениями достигается в условиях целенаправленного их формирования. Образование вычислительных навыков ускоряется, если учащемуся понятен процесс вычислений и их особенности [3].

При обучении вычислениям и совершенствовании техники счета необходимо отчетливо представлять, какие умения и навыки у учащихся необходимо сформировать. Перечислим наиболее важные из них.

В письменных вычислениях данные числа, знаки арифметических действий, промежуточные и окончательные результаты записываются. Поскольку качество записей оказывает существенное влияние на успех вычисления, то учащимся необходимо владеть следующими навыками:

· отчетливо писать математические символы (цифры, знаки препинания, знаки арифметических действий);

· цифры и знаки располагать строго в соответствии с правилами арифметических действий;

· безошибочно применять таблицы сложения и умножения натуральных чисел.

При устных вычислениях надо помнить данные числа и законы действий над ними. При этом формирование навыков устных вычислений связано с выработкой навыка запоминания чисел, выявления особенностей отдельных чисел.

Правила и приемы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не только потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками, но и потому, что они ускоряют письменные вычисления, позволяют усовершенствовать их. Наличие у учащихся навыков устного счета влияет на степень отработки у них рациональных и безошибочных вычислительных умений. Например, без навыков устного использования таблиц сложения и умножения невозможно в совершенстве овладеть умениями в выполнении арифметических действий.

Для того чтобы овладеть умениями, предусмотренными программой, учащемуся достаточно уметь устно:

· складывать и умножать однозначные числа;

· прибавлять к двузначному числу однозначное;

· вычитать из однозначного или двузначного числа однозначное (преимущественно из числа, меньшего 20);