Доклад: Давид Гильберт
Его называют последним всесторонним математиком и самым замечательным учителем математиков 20 века. Но биография у Гильберта была самая обыкновенная. Он родился в столице Пруссии " Кенигсберге незадолго до того, как Пруссия под руководством Бисмарка объединила все немецкие государства в новую (вторую) Германскую империю. Гильберт пережил взлет этой державы, а затем " ее распад в конце первой Мировой войны. Потом возникла недолговечная Веймарская республика; за нею последовали Гитлеровская империя и вторая Мировая война. Этих потрясений хватило бы на много жизней; но до поры, до времени Гильберт ухитрялся избегать участия в политике и войнах.
Вундеркиндом он не был, а был типичным "классиком". То есть, Гильберт поочередно старался понять каждую область математики на всю ее глубину и решить в ней те задачи, которые его интересовали. Когда полет фантазии и творческий взрыв прекращались, Гильберт оставлял это поле деятельности своим ученикам. Но оставлял в полном порядке, написав хороший учебник для всех последователей и прочтя соответствующий курс для студентов.
Бывало и наоборот: Гильберт объявлял на следующий учебный год спецкурс по новой для себя области математики. За лето он входил в курс дела и дальше изучал новую науку, обучая ей студентов " как бы ведя группу альпинистов на траверс незнакомого хребта. Попасть в состав такой штурмовой группы считалось большой честью и очень трудным испытанием. Гильберт был заботлив со всеми учениками, в которых он замечал "искру Божью". Но если она угасала, то он вежливо советовал им сменить род деятельности, " например, ограничиться преподаванием математики. Бывали и другие варианты: ученики Гильберта становились физиками, инженерами и даже литераторами. Об одном бывшем питомце Гильберт отозвался так: "Да, он стал поэтом " и правильно сделал. Для математики ему не хватало фантазии!" О том, что кому-то может не хватить трудолюбия, Гильберт не говорил; бездельников он не считал полноценными людьми.
Еще в Кенигсберге Гильберт ощутил себя лидером среди сверстников в науке, хотя зазнайство было ему чуждо. Стать главою математической школы " такая мечта пришла на ум сама собой. Но где свить свое гнездо" Этот вопрос потребовал долгих раздумий. В Кенигсберге профессия математика была не в почете; в столичном Берлине слишком большую роль играли военные и чиновники. Зато тихий Геттинген, осененный славными именами Гаусса и Римана, оставался местом паломничества немецкой математической молодежи. В 1895 году Гильберт переехал туда и успешно проработал до 1933 года " пока к власти не пришел Гитлер.
Подобно Гауссу, Гильберт начал свои исследования с алгебры. 19 век преобразил эту науку; пришла пора навести в ней порядок, и Гильберт начал реформу с теории чисел. Поводом стал заказ от Математического общества: сделать обзорный доклад о современном состоянии теории чисел и о перспективах ее развития. С этим заданием Гильберт справился бы за полгода, но увлекся этой работой на добрых 5 лет. В итоге "Доклад о числах" превратился в учебник объемом в 400 страниц, где отразились все яркие новинки. Например, в целых кольцах разложение на простые множители бывает неоднозначным: из-за этого Эрнст Куммер не сумел завершить доказательство Большой теоремы Ферма. Или теория инвариантов алгебраических групп: она стала модной с тех пор, как Феликс Клейн объявил группу симметрий основным объектом геометрии. Гильберт довел эту область алгебры до совершенства и оставил ее в покое.
Или давняя проблема англичанина Варинга. Известно, что каждое натуральное число является суммой не более чем 4 квадратов, или не более 9 кубов. Правда ли, что для всякой степени (n) найдется число (к) такое, что любое натуральное N будет суммой не более чем (к) разных (n)-ных степеней" Только в 1909 году эта проблема покорилась усилиям Гильберта. Но его лучший друг и коллега " Герман Минковский " не успел услышать рассказ Давида о его замечательном успехе: он умер после неудачной операции аппендицита за неделю до решения проблемы Варинга... Через три года сходная смерть унесла француза Анри Пуанкаре " единственного математика, чьи достижения Гильберт не успел превзойти до его смерти.
Гильберт был удачлив в дружбе, но не так везуч в семейной жизни. С женою Кете они жили, душа в душу; но единственный сын родился слабоумным, и врачи сказали, что так будет и впредь. Поэтому семьей Гильберта сделались его ученики почти из всех стран Европы и Америки. Гильберт регулярно устраивал совместные чаепития и турпоходы, во время которых математические дискуссии прерывались студенческим трепом обо всем на свете. Для чопорной немецкой профессуры такой стиль общения со студентами был непривычен; но авторитет Гильберта сделал его нормой в Геттингене, а ученики и стажеры разнесли эту норму по всему свету. В России ее внедрили Дмитрий Егоров, Николай Лузин и их ученики: Павел Александров, Павел Урысон, Андрей Колмогоров.
После первых алгебраических увлечений интерес Гильберта сместился в геометрию, причем сразу в две ее области: классическую геометрию Евклида и геометрию бесконечномерных пространств, называемую функциональным анализом. Среди всех векторных пространств, составленных из функций, Гильберт выделил самое удобное: то, в котором определены расстояние между точками, угол между векторами и предел последовательности точек. Этот аналог евклидова пространства теперь называют гильбертовым пространством. Его геометрические свойства проявляются в решениях дифференциальных уравнений и в более сложных задачах "криволинейной" геометрии.
В евклидовой геометрии Гильберт хотел просто навести порядок. Ведь за 23 столетия требования к строгости рассуждений значительно выросли, и пробелы в тексте Евклида сделались нетерпимы. В 1899 году Гильберт предложил новую систему из 20 аксиом, среди которых явно не было ни одной лишней и (казалось) не было пробелов. Гильберт подчеркнул логическое совершенство своей конструкции шутливой фразой: "Справедливость аксиом и теорем ничуть не поколеблется, если мы заменим привычные термины "точка, прямая, плоскость" другими, столь же условными: "стул, стол, пивная кружка"!
Этот успех внушил Гильберту надежду, что в каждой области математики можно ввести полную и строгую систему из необходимых и достаточных определений и аксиом. Вывод всех прочих утверждений из этих основ можно будет формализовать так, что он станет доступен вычислительной машине. Правда, она будет медленно ползти к той цели, которой человеческий разум нередко достигает одним дерзким прыжком. Зато каждую догадку можно будет проверить " медленно, но надежно.
Гильберт сознавал, что эта его надежда является гипотезой и требует тщательной проверки. В качестве контрольного примера он выбрал общую теорию множеств, а в ней " знаменитую континуум-гипотезу Кантора. Существует ли на отрезке несчетное множество мощности меньшей, чем сам отрезок" Безуспешно пытаясь построить такое множество, Георг Кантор довел себя до психического расстройства. Напротив, Гильберт попробовал доказать НЕДОКАЗУЕМОСТЬ континуум " гипотезы " и это ему удалось. Но когда он попытался доказать ее НЕОПРОВЕРЖИМОСТЬ, то потерпел неудачу. Успех в этом деле пришел лишь в 1963 году к американцу Полю Коэну и чеху Карелу Вопенке.
Такой результат немало порадовал бы Гильберта: он доказывает, что континуум-гипотеза является одной из необходимых аксиом теории множеств. Но при жизни Гильберта постигло в этой сфере тяжкое разочарование, В 1931 году молодой австриец Курт Гедель доказал, что утверждения вроде континуум-гипотезы (не доказуемые и не опровержимые) найдутся в ЛЮБОЙ системе аксиом. Были они в системе Евклида: таков "пятый постулат" о параллельных прямых. Есть они в теории множеств: такова "аксиома выбора", такова же континуум-гипотеза. Есть они даже в арифметике " и впредь будут во всякой формальной модели любой из областей математики!
Значит, надежда Гильберта на полную формализацию каждой области математики была ошибкой" Да, таков приговор природы; обжалованию он не подлежит. Но его можно воспринять и с оптимизмом: из теоремы Геделя следует, что развитие любой области науки никогда не прекратится! Правда, для этого придется регулярно изобретать новые определения и аксиомы, вытекающие из существа дела. На это способен только человеческий мозг, но не компьютер. Гильберт это знал по опыту; поэтому он не только огорчался, но и радовался поразительному открытию Геделя. Приятно, когда природа оказывается еще богаче, чем ты надеялся!
Но если изобретение универсальной системы аксиом не может стать единственным или главным знаменем для развивающейся математики, то, что нужно добавить к этому знамени" Ясно, что: решение новых задач! Эта работа приносит ученому все новые радости, побуждает его к новым усилиям. Значит, в любой момент времени все математики должны иметь ясное представление о важнейших не решенных проблемах своей науки. Долг сильнейших математиков " не только решать такие задачи, но и ставить новые проблемы на смену решенным. Гильберт вступил на этот путь в 38 лет " в 1900 году, когда он сделал на Парижском математическом конгрессе доклад "Математические проблемы". С тех пор прошел целый век " и видно, что ни один математик не превзошел Гильберта своим влиянием на развитие науки.
Какие же задачи Гильберт считал тогда главными для математики" Во-первых, обоснование ее новых, бурно развивающихся ветвей: теории множеств, математической логики, теории чисел, алгебраической геометрии, функционального анализа. В каждой их этих областей Гильберт выделил одну-две задачи, " наиболее просто формулируемые и трудные для решения. Таковы континуум-гипотеза и непротиворечивость арифметики, распределение простых чисел и трансцендентность числа е..., классификация непрерывных групп и разрешимость диофантовых уравнений.
К концу 20 века все эти задачи либо решены, либо доказана их неразрешимость. Но каждая решенная проблема породила букет новых проблем еще большей сложности и такой же красоты " так что Гильберт верно угадал самые перспективные точки роста на тысячелетнем древе математической науки.
Особняком стоит в списке Гильберта проблема 6: "Дать математическое изложение аксиом физики". Это " прямое развитие программы Ньютона на пути великих успехов и неудач Максвелла, Планка и Эйнштейна. Гильберт не стал подробно излагать этот вопрос, будучи уверен: каждое крупное открытие в физике ставит перед математиками уйму новых красивых задач, и этому процессу конца не будет!
Лет через 20 молодые ученики в шутку спросили Гильберта: решение какой задачи было бы сейчас полезнее всего для математики" Стареющий профессор ответил вполне серьезно: "Поймать муху на обратной стороне Луны!" Ученики опешили, а Гильберт объяснил: "Сама эта задача никому не нужна. Но подумайте: если она будет решена, то, какие могучие методы придется изобрести для этого, и какое множество других важных открытий мы при этом сделаем!"
Жизнь подтвердила правоту Гильберта и в этом случае. Вспомним, что электронные компьютеры были изобретены по заказу противовоздушной обороны и для быстрого расчета водородной бомбы. Запуск искусственного спутника Земли, высадка первых людей на Луне, прогноз погоды на всем земном шаре " все эти задачи были решены как "побочный продукт" гораздо менее красивых проблем в гонке вооружений.
Сам Гильберт не дожил до этих событий. В последние 10 лет жизни он бессильно наблюдал распад Геттингенской математической школы под властью новых варваров " нацистов. Понимал ли он, что невежественное владычество Гитлера просто сдвигает центр мировой научной мысли из Германии на запад " в США" Вероятно, он догадывался об этом " и горько усмехался про себя, сравнивая безумный проект построения "тысячелетнего царства арийской расы" с ловлей мух на обратной стороне Луны. Странно шутит История...
Сейчас, в конце 20 века, мы видим: Давид Гильберт оказался самым прозорливым и влиятельным математиком этого столетия. Хорошо, если и впредь в науке будут появляться подобные лидеры!