Доклад: Системы линейных уравнений

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

Δ = det (a_ij )

и n вспомогательных определителей Δ_i (i = ), которые получаются из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

Δ · x_i = Δ_i (i = ). (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x_i = Δ_i / Δ.

Если главный определитель системы Δ и все вспомогательные определители Δ_i = 0 (i = ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы Δ = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

4. Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е.

det A ≠ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A^-1 B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X = C, C = A^-1 B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.