Доклад: Цепочка Галилея

В книге Галилея «Беседы и математические доказательства…», напечатанной впервые на итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638г., предлагался, между прочим, такой способ построения параболы: «Вобьём в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздём подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка её находиласьот уровня гвоздя на расстоянии, равном высоте прямоугольника (рис. 1). Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы, так что, отметив её след на стене пунктиром, мы получим параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведённым через середину линии, соединяющей оба гвоздя».

Способ этот прост и нагляден, но не точен. Это понимал и сам Галилей. На самом деле, если параболу построить по всем правилам, то между нею и цепочкой обнаружатся зазоры. Они видны на том же рис. 1, где соответствующая парабола обозначена сплошной линией.

Цепная линия.

Только через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли – Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки. Не спеша сообщать своё решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решение опубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц и младший брат Якоба – Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа – производной и интегралом.

Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепной линией .

Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг от друга – то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много. Но все они подобны между собой, как, например, подобны между собой любые окружности.

График показательной функции.

Оказалось, что разгадка секрета цепной линии лежит в показательной функции. В XVIIIвеке она была ещё новинкой, а теперь её должен знать каждый восьмиклассник. Это функция вида y = a^x , где a – какое-либо положительное число, не равное 1. Вычисления показали, что для построения цепной линии удобнее всего принять a равным так называемому неперову числу , обозначаемому буквой e . Оно получило своё имя в честь шотландского математика Джона Непера – одного из изобретателей логарифмов. Число это почти столь же знаменито, как и число p ; его приближённое значение, взятое с точностью до 0,0005:e »2,718.

На рис. 2 сплошной линией изображен график показательной функции y=e^x , а пунктиром - график другой показательной функции, тесно связанной с предыдущей.

Если воспользоваться отрицательными показателями степеней, то последнюю функцию можно представить в виде y=e^-x . Теперь ясно, что оба графика симметричны друг другу относительно оси ординат, что и обнаруживает рисунок.

???????? ?????? ??? ????? ???????, ???? ??? ??????? x ???? ????????? ???????? ????? ????????????? ??????? ? ???????y =¹ /₂ (y=e^x +e^-x ) , ???? ?? ????????????: y=¹ /₂ (y=e^x -e^-x ) . ??????? ???? ????? ??????? ????????? ?? ???. 3 ? ???. 4. ???????????, ??? ?????? ?? ??? ??? ? ???? ???? ?? ?????? ?????. ?? ???? ????? ??????? ??????????????, ? ??????? ?????? ???? ????, ????? ???????? ????? ?????? ?????, ???????????? ???????????? ??? ???????. ??? ???????? ???????, ??????????????? ?? ???. 4, ?? ?? ????? ???? ??????????? ??? ??????????????? ???????? ??? ???????? ?? ?????? ????? ???. 3 ? ????? ?????? ?????? ?????? ?????.

Подбор длины цепочки.

Рассмотрим подробнее связь между кривой, изображенной на рис. 3, и формой висящей цепочки.Представим себе, что эта кривая вычерчена на строго вертикальной и совершенно гладкой стене и что нам разрешено забивать гвозди в разные точки кривой. Забьём их, как советовал Галилей, в точках A иB на одной горизонтали (впрочем, это условие несущественно). Подберём теперь тонкую цепочку, длина которой точно равна 2 l – длине дуги AB – и концы её закрепим в A и B . Тогда цепочка провиснет строго по дуге, которую мы заранее вычертили. Никаких зазоров между ней и этой кривой не будет наблюдаться.

Подбор цепочки нужной длины можно производить путем проб. Взять цепочку подлиннее – с запасом, а потом подвешивать её за разные звенья в точках A и B , по мере надобности увеличивая или уменьшая длину провисающей части, пока не произойдёт совпадения (рис. 5). Но можно поступить и иначе: зная d (половину расстояния между гвоздями), найти путём вычисления l (половину длины дуги AB ) и тогда уже брать цепочку, длина которой точно равна 2 l . Такой подсчёт удаётся с помощью интеграла. Укажем здесь результат: l =1/2( e^d - e ^{- d} ) .Отсюда следует, что если взять на графике функции y =1/2( e^x - e ^{- x} ) (рис. 4)x = d , то соответствующая ордината у точки E этого графика будет равна l .

Так как l = 1/2 ( e^d - e ^{- d} )< r =1/2( e^d - e ^{- d} ) (см. рис. 5), то получается любопытное заключение: длина дуги CB цепной линии, представленной на рис. 5 (половина длины всей цепочки) короче, чем ордината точки подвеса. С другой стороны, имеем: l > d , т.е. эта длина больше, чем абсцисса точки подвеса.

А если длина не та?

Как отыскать уравнение линии в случае, когда для данных точек подвеса A и B длина цепочки2 l ` не совпадает с длиной 2 l дугиAB , принадлежащей кривойy =1/2( e^x - e ^{- x} ) ? В поисках ответа мы будем опираться на отмеченный выше факт, что все цепные линии подобны между собой.

Пусть, например, l `> l . Тогда цепочка провиснет по некоторой дугеAC ` B , расположеннойпод дугой ACB (рис. 5). Мы покажем, что нужное уравнение цепной линии, которой принадлежит дугаAC ` B , можно найти в три приёма. Сначала перейти от кривой (1):y =1/2( e^x - e ^{- x} ) к некоторой кривой (2): y =1/2( e^{x / k} - e ^{- x / k} ) ;эта кривая получается из (1) посредством преобразования подобия с центром в точке O и коэффициентом подобияk ( k >0) . Затем перейти от кривой (2) к кривой (3):y = b + k /2 ( e^{x / k} - e ^{- x / k} ) посредством сдвига предыдущей в направлении оси ординат (в зависимости от знака b вверх или вниз).

Вся хитрость заключается в том, чтобы определить коэффициент подобия k . С этой целью отметим в плоскости вспомогательной кривой, изображённой на рис. 4, точку F с координатами x = d иy = l ` . В силу того, чтоl `> l , она не попадёт на кривую, а окажется выше неё.

Продолжим OF до пересечения с кривой в некоторой точке G (можно доказать, что точка пересечения найдётся, помимо точки O , и притом только одна).Положим OF / OG (в нашем случае 0< k <1 ); тогда координатами точки G будут числаx = d / k , y = l `/ k . Поэтому они будут связаны уравнением кривой: l `/ k =1/2( e^{d / k} - e ^{- d / k} ) . Отсюда следует, что если на кривой (1) (рис. 3) взять точки A ` иB ` с абсциссами– d / k и d / k , то длина дугиA ` B ` , их соединяющей, будет равна2 l `/ k .

Все цепные линии подобны.

????????? ????? k ?????????? ??? ??????????? ??????? ? ?????????????? ?????? (1); ? ???????? ?????? ??????? ??????? ?????? ????????? O . ????? ?????? ????? P ( x , y ) ?????? (1) ????? ??????????????? ????? Q ( kx , ky ) ??????????????? ?????? (2) (???. 6).???? ?????? ???????????:X = kx , Y = ky , ??x = X / k , y = Y / k . ????????? ????? ?????? ????????????? ????????? (1), ??? ??? ????? P ( x , y ) ??????? ???. ????????: Y / k =1/2( e^{X / k} - e ^{- X / k} ) . ??? ? ???? ????????? ?????? (2), ?????????? ? ?????????? ??????????????.??????? ????? ??? ??????????? ????????? ????? ????? ???????? ??????????, ?????, ??? ?????? ??? ?????????? ????? ????? ?????? (2).

Заметим, что точкам A ` иB ` кривой (1) с абсциссами – d / k иd / k будут соответствовать точки A `` иB `` кривой (2) с абсциссами – d и d (рис. 7). В силу подобия дуг A ` B ` иA `` B `` длинаA `` B `` будет равна2 l ` , т. е. равна заданной длине цепочки.В этом и состоит преимущество кривой (2) перед исходной кривой (1). Недостаток её, однако, в том, что кривая (1) проходила через заданные точки подвеса A иB , а кривая (2) может через них и не проходить. Но этот недостаток легко устранить. Если ордината точки B `` (илиA `` ): k /2( e^{d / k} + e ^{- d / k} ) не равнаr , т. е.B `` не совпадает сB , то положимr - k /2( e^{d / k} + e ^{- d / k} )= b .

В результате сдвига кривой (2) в направлении оси ординат на величинуb она перейдёт в кривую (3): y=b+k/2(e^d/k +e^-d/k ) . Последняякривая, во-первых, подобна кривой (1) и, следовательно, являетсясама цепной линией. Во-вторых, она проходит через заданные точки подвеса: A (- d , r ) иB ( d , r ) . И, в-третьих, длина дугиAB равна длине данной цепочки2 l ` . Эти условия и обеспечивают, как это было доказано Бернулли, Гюйгенсом и Лейбницем, что цепочка провиснет как раз по дуге AB .

На этом очерк о цепочке Галилея можно считать законченным.