Книга: Сварочные сосредоточенные источники нагрева

(6.6)

Если источник теплоты не прекращал своего действия в течение времени t , то температура определится путем интегрирования выражения (6.6) в пределах от 0 до t :

(6.7)

Вводим замену R ² /4 at =u ² и интегрируем

(6.8)

где

Из выражения (6.8) следует, что при t = const температура убывает с увеличением расстояния R несколько быстрее, чем 1/ R , так как выражение в скобках также уменьшается с ростом R .

На рис. 6.4, а показано нарастание температуры отдельных точек во времени. В точках, расположенных ближе к источнику теплоты, предельная температура достигается быстрее.

Линейный источник теплоты в пластине. Рассмотрим случай линейного источника теплоты в пластине без теплоотдачи. Аналогично точечному источнику теплоты, из уравнения (6.4) находим приращение температуры:

(6.9)

Интегрируем от 0 до t и вводим замену z = r ² /4 at

(6.10)

где Ei — интегральная показательная функция.

Рис. 6.4 Изменение температуры во времени при действии неподвижного источника теплоты; U =25 в; I =100 а; η = 0,6; λ =0,38 дж/см·сек·град; cγ =4,8 дж/см³ ·град в точках на расстояниях 0,7см, 1см и 1,5 см от источника:

a — точечный источник теплоты в полубесконечном теле; б — линейный источник теплоты в бесконечной пластине δ = 1,2 см ; в — плоский источник теплоты в бесконечном стержне F —8 см²

Изменение температуры во времени показано на рис. 6.4, б. В отличие от точечного источника теплоты в полубесконечном теле, где температуры отдельных точек стремятся к определенным значениям, в пластине температуры точек возрастают беспредельно. Непрерывное нарастание температуры объясняется тем, что в пластине тепловой поток стеснен и теплота не успевает перетекать в более холодные зоны. При наличии теплоотдачи с поверхностей пластины температуры точек стремятся к определенным конечным значениям.

Плоский источник теплоты в стержне. Рассмотрим случай нагрева плоским источником теплоты полубесконечного стержня без теплоотдачи. Поступая аналогично предыдущим случаям, из выражения (6.5) с учетом b = 0 находим приращение температуры:

(6.11)

Интегрируя от 0 до t и вводя замены, находим

(6.12)

Так же как и в случае линейного источника теплоты, температура точек стержня беспредельно возрастает с ростом t (рис. 6.4, в).

Выравнивание температур

Прием, с помощью которого можно рассчитать процесс выравнивания, основан на использовании фиктивных источников теплоты и стоков теплоты. Его целесообразно применять в тех случаях, когда известен закон действия источника теплоты вплоть до начала процесса выравнивания. Например, известно, что на поверхности полубесконечного тела в течение времени t ₀ действовал точечный неподвижный источник теплоты постоянной мощности q (рис. 6.5).

Искусственно можно представить, что после прекращения действия источника теплоты q продолжают действовать одновременно в одной и той же точке фиктивный источник теплоты q и фиктивный сток теплоты — q . Под стоком теплоты будем понимать такой источник теплоты, действие которого вызывает отрицательную температуру.

Рис. 6.5 Схема действия фиктивного источника и фиктивного стока теплоты для определения выравнивания температуры

Фиктивный источник теплоты и фиктивный сток теплоты будут взаимно уничтожаться, т. е. будет соблюдаться условие о прекращении существования действительного источника теплоты, начиная с момента времени t = t ₀ . Температура в период выравнивания определится, как разность температур источника Т_И и стока Т_с теплоты. Используя выражение (6.8), находим

(6.13)

где t — время от начала действия источника теплоты до рассматриваемого момента времени; t ₀ — продолжительность действия источника теплоты. Аналогично можно определить выравнивание температур после окончания действия линейного или плоского неподвижного источника теплоты.