Контрольная работа: Математическая модель экономики посредников
Введеная таким образом плотность распределения a непрерывно дифференцируема на интервале (0;1) и стремится к 0 на его границах, что соответствует интуитивным предпосылкам Она позволяет варьировать степень средней заинтересованности менеджмента предприятий в результатах их деятельности, и удобна для интегрирования.
После выбора плотности распределения a можно получить значения суммарного сбора налогов государством, криминальными структурами, суммарных объемов производства в легальном секторе экономики, суммарных объемов производства в теневом секторе экономики, суммарных прибылей предприятий легального сектора, суммарных прибылей посредников и суммарных убытков предприятий, торгующих через посредников (что в рамках данной модели трактуется как объем неплатежей в экономике. Также можно рассчитать средние уровени цен в легальном секторе, теневом секторе и в целом по экономике. Однако формулы получаются чрезвычайно громоздкими, поэтому ниже будут приведены их графики. Вычислив в явном виде вышеназванные величины, можно приступить к исследованию модели. Исходная гипотеза заключается в том, что коррумпированный бюрократический аппарат сросся с криминальными структурами, поэтому бюрократы непосредственно устанавливают такой уровень теневых налоговых ставок и лоббируют установление такого уровня официальных налоговых ставок, чтобы максимизировать свою целевую функцию вида Tl +(1- )Tс , где параметр характеризует степень заинтересованности бюрократического аппарата в пополнении бюджета. С формальной точки зрения, необходимо найти максимум этой функции по параметрам l и c. Поскольку затруднительно найти аналитическое выражение для l и c, соответствующих максимуму целевой функции бюрократического аппарата, в представленной модели он ищется численно.
Полученные в модели формулы громоздки и сложны для анализа, поэтому представим их графики.
На рисунке 1 изображены поверхности Лаффера , характеризующие зависимость сбора налогов от значений ставок легальных и теневых налогов, отложенных в горизонтальной плоскости. На левом верхнем рисунке изображена кривая зависимости легальных налоговых сборов от доли дохода, оставляемого в распоряжении фирмы легальными и нелегальными структурами (tl и tc соответственно). При каждой фиксированной величине tс мы получаем известную в макроэкономике кривую Лаффера: по мере увеличения ставки налога (уменьшения tl ) налоговые сборы сначала растут, а затем начинают падать из-за ухода в теневой сектор и свертывания производства. При величине tl <c 1 d 1 /d 0 легальное производство полностью прекращается, так как производители вынуждены устанавливать такие цены, что спрос на их продукцию падает до 0. При меньшей величине нелегального налогообложения (большей величине tс ) высота соответствующей кривой Лаффера ниже: большее количество предприятий уходят в теневой сектор из-за возрастания выгодности правонарушений. Поэтому при каждой фиксированной величине tl по мере возрастания tс собираемость налогов снижается. Левый нижний рисунок отражает ситуацию со сбором нелегальных теневых налогов, которая является инверсной по отношению к ситуации в легальном секторе: при фиксированной легальной ставке налога наблюдается эффект Лаффера в зависимости от значения нелегальной ставки, а при уменьшении налогообложения в легальном секторе и сохранении нелегальной ставки на том же уровне, собираемость нелегальных налогов падает. На правом рисунке изображена целевая функция бюрократического аппарата, которая в данной модели в целях упрощения представляет линейную комбинацию легальных и нелегальных сборов, взвешенных с весами b и 1-b соответственно. Белыми полосами отмечено множество недоминируемых альтернатив между сбором легальных и теневых налогов. Оно представляет множество таких комбинаций налоговых ставок, для каждой из которых невозможно увеличить собираемость одного из видов налогов, не уменьшив собираемости другого. При принятии решения о установлении налоговых ставок рационально действующий аппарат будет принимать во внимание только альтернативы из этого множества.
На рисунке 1а изображено множество всех возможных значений налоговых сборов, его внешняя граница, являющаяся множеством недоминируемых альтернатив, и наивысшая из достижимых линий уровня функции полезности чиновничьего аппарата. Точка пересечения этой линии уровня (являющейся в данной модели прямой линией) с множеством недоминируемых альтернатив, отмеченная на всех рисунках в виде белого квадратика, является решением задачи. Наклон прямой определяется коэффициентом и характеризует степень заинтересованности чиновничьего аппарата в сборе легальных налогов по сравнению со сбором теневых налогов.
На рисунке 2 изображены объемы легального, теневого производства и общий объем производства в зависимости от уровня легальных и теневых налоговых ставок. На этих рисунках видно, что при возрастании налоговых ставок объем производства падает, причем при возрастании легальных налоговых ставок производство частично перетекает в теневой сектор, и наоборот. Это соответствует реальной ситуации, когда чрезмерное налогообложение законопослушных производителей душит производство. Интересно отметить, что даже при нулевом уровне легальных налоговых ставок существует теневое производство. Этот факт демонстрирует недостаточность снижения легальных налогов для борьбы с теневым сектором. Необходимо проводить комплексную политику, заключающуюся в снижении легальных налоговых ставок и одновременном увеличении трансакционных издержек нахождения в теневом секторе. В рамках данной модели это будет интерпретироваться как одновременное увеличение l и снижение c , однако в этом случае изымаемая часть криминальной прибыли пойдет не на увеличение доходов коррумпированных бюрократов, а на предварительную моральную компенсацию риска поимки для правонарушителя.
На рисунке 3 изображены средние уровни цен. Верхний левый рисунок демонстрирует зависимость среднего уровня цен в легальном секторе от налоговых ставок. При значении l =c 1 d 1 /d 0 цены достигают того уровня, когда спрос в легальном становится равным 0, поэтому автор принял, что при дальнейшем повышении налогов цены остаются на этом уровне. На нижнем левом рисунке изображены средние цены в теневом секторе, а на правом – общий уровень цен. Мы можем видеть, что увеличение налогообложения существенным образом способствует взвинчиванию цен, из-за чего страдают потребители. Полученные результаты соответствуют заявлениям о том, что в российской экономике цены на многие товары существенно завышены.
На рисунке 4 построены поверхности, изображающие прибыли легальных производителей, посредников и убытки предприятий, торгующих через посредников. На левом нижнем рисунке видно, что прибыли предприятий легального сектора возрастают по мере сокращения легального и теневого налогообложения. Левый верхний рисунок, напротив, показывает, что при сокращении легального налогообложения прибыли посредников падают, а при сокращении теневого налогообложения – растут. На правом рисунке изображен объем неплатежей, который возрастает как при увеличении легальных, так и теневых налогов. Как уже было отмечено выше, даже при нулевом уровне легального налогообложения часть продукции реализуется в теневом секторе, что приводит к положительным прибылям посредников и проблеме неплатежей.
Все графики построены для следующих значений параметров: c 1 =2, d 0 =100, d 1 =10, =0,5, =2, =1/2. Качественно вид графиков не зависит от значений параметров, хотя количественные характеристики и подвержены изменению.
Автором был проведенный анализ чувствительности величины сбора налогов в модели в зависимости от изменения степени заинтересованности в добросовестном исполнении своих обязанностей менеджмента предприятий, бюрократов, изменения издержек и изменения степени монополизированности экономики. Анализ был проведен путем варьирования коэффициентов , , c1 и отношения d 0 /d 1 . Результаты анализа показали, что, в зависимости от степени монополизированности экономики, наиболее эффективной мерой повышения собираемости налогов является либо увеличение степени ее монополизированности (при изначально низком уровне монополизированности), либо увеличение степени заинтересованности бюрократов в добросовестном исполнении своих обязанностей. Действительно, правительство Е. М. Примакова в качестве одной из главных мер пополнения бюджета называет введение государственной монополии на алкогольную продукцию, также в качестве одной из необходимых мер называется снижение уровня налогов. В рамках данной модели это можно интерпретировать как существенное увеличение степени "честности" членов нового правительства по сравнению с предыдущими. Увеличение степени заинтересованности менеджмента в прибыли своих предприятий по степени эффективности является следующей мерой после увеличения степени заинтересованности бюрократов в сборе налогов. Самой малоэффективной мерой является снижение издержек. Это находит подтверждение в действительности: снижение железнодорожных тарифов не привело к сколько-нибудь заметному оживлению производства и увеличению сбора налогов.
Представленная модель позволяет заключить, что одними из основных направлений по выводу экономики из кризиса могли бы стать:
1. борьба с коррупцией;
2. установление налоговых ставок, исходя не только из фискальных целей, но и из потребностей увеличения производства;
3. активизация усилий государства по борьбе с недобросовестной конкуренцией путем создания системы товарно-сырьевых бирж под патронажем государства, куда был бы запрещен доступ посредников;
4. монополизация государством некоторых секторов экономики.
Предложенная модель является статической и ничего не говорит нам о развитии процесса во времени. Покажем, как с помощью простейших дифференциальных уравнений можно построить модель, достаточно адекватно описывающую многие динамические особенности российской экономики.
Динамическая математическая модель. Рассмотрим замкнутую экономику с фиксированными производственными мощностями. В такой экономике производится один вид благ, используемых на потребление населения и в качестве сырья и полуфабрикатов для производства. Для упрощения картины, будем рассматривать ВВП в постоянных ценах. Пусть сначала существует недогрузка мощностей, тогда любое приращение выпуска будет приводить как к росту доходов в экономике, так и к росту предложения сырья и полуфабрикатов. Рост доходов будет приводить к увеличению совокупного спроса, а рост предложения сырья и полуфабрикатов предоставит возможности удовлетворить растущий спрос путем дальнейшего увеличения выпуска. Таким образом, экономика будет расти благодаря действию эффекта мультипликатора. По мере сокращения объема свободных мощностей и уменьшения величины мультипликатора, темп роста экономики будет сокращаться, пока не станет равным нулю при достижении полной загрузки. При дальнейшем увеличении производства, темп роста станет отрицательным из-за возникновения дефицитов сырья и поломок оборудования, работающего с перегрузкой. Математически это можно представить в виде дифференциального уравнения первого порядка: dY/dt=f(Y) , где Y – ВВП в постоянных ценах, f(Y) - скорость роста ВВП. f(Y) >0, при 0<Y<Ymax ; f(Y)=0, при Y=0 и Y=Ymax ; f(Y)<0, при Y>Ymax , где Ymax - ВВП, соответствующий уровню оптимальной загрузки производственных мощностей. Исходя из общих соображений, очевидно, что f(Y) – непрерывная гладкая функция. Предположим, что она имеет единственный максимум. Простейшее математическое выражение такой функции, обладающее всеми названными свойствами – две параболы, одна из которых выходит из начала координат, а другая из точки (Ymax, 0). Они склеиваются в точке максимальной скорости роста, причем эта точка является вершиной каждой из них. Рисунок 5 демонстрирует поведение ВВП с течением времени в зависимости от начального уровня ВВП. В системе существует два стабильных состояния, соответствующих 0 и Ymax . Из любого начального состояния система притягивается к состоянию с уровнем ВВП, равным Ymax , достигая его формально за бесконечное время. Таким образом, это состояние является устойчивым. Состояние, соответствующее нулевому ВВП, не является устойчивым, и малейшее случайное отклонение от него приводит к дальнейшему возрастанию ВВП вплоть до уровня Ymax .
Таким образом, в замкнутой экономике с фиксированными производственными мощностями, устанавливается устойчивое равновесие, соответствующее оптимальной загрузке имеющихся мощностей. Инвестиции в производство в такой экономике приводят к росту Ymax и, соответственно, к смещению положения равновесия.
Усложним модель, рассмотрев открытую экономику, где экономическая элита (посредники, коррумпированные менеджеры и бюрократы) максимизирует свои доходы, которые получает путем изъятия части прироста ВВП. Примем, что "аппетиты" элиты линейно растут по мере роста ВВП по закону: a+bY . Уравнение изменения ВВП имеет вид: dY/dt=f(Y)-(a+bY) . a характеризует “жадность” элиты: она показывает, какую долю прироста элита изымает независимо от состояния дел в экономике. Очевидно, a тем выше, чем большее значение для элиты имеет эффект демонстративного потребления, и чем менее она уверена в своем будущем. Доходы, полученные элитой вывозятся за границу. Поэтому эти доходы представляют собой чистый вычет из ВВП.
Условие максимизации доходов элиты на протяжении достаточно длительного временного интервала приводит к подбору коэффициента d таким образом, чтобы график их доходов пересекал график прироста ВВП в точке максимума последнего.
В предложенной модели существует три положения равновесия: Y* 1 , Y* 2 и 0 . Если система в начальный момент находилась в точке выше Y* 1 , она с течением времени притягивается к состоянию Y* 2 и достигает его формально за бесконечное время. Если система находится в положении ниже Y* 1 , то она падает до нуля за конечное время, то есть реально очень быстро. Таким образом, Y* 2 и 0 являются устойчивыми состояниями, а Y* 1 - неустойчивым. На рисунке 6 изображено поведение такой системы.
