Контрольная работа: Непрямий метод оцінювання параметрів строго ідентифікованої системи рівнянь

Метод найбільшої вірогідності повної інформації (НВПІ).

Перші 5 методів називають методами одного рівняння, оскільки вони застосовуються тільки до одного з рівнянь системи.

Шостий та сьомий методи (ЗМНК та НВПІ) називають системними методами, оскільки вони застосовуються одночасно до всіх рівнянь системи.

Для оцінювання параметрів системи структурних надідентифікованих рівнянь найбільш поширеними є двокроковий та трикроковий методи найменших квадратів.

Якщо рівняння моделі точно ідентифіковані, то непрямий і двокроковий методи дають однакову оцінку параметрів моделі. Якщо рівняння будуть надідентнфікованими, то ці оцінки будуть різними.

Таким чином, далі розглянемо непрямий метод найменших квадратів (НМНК).

Для точно ототожненого структурного рівняння можна отримати структурні параметри з МНК-оцінок коефіцієнтів зведеної форми методом, відомим під назвою метод непрямих найменших квадратів (ННК). Оцінка параметрів за цим методом умовно розбивається на такі три етапи.

1. Спочатку отримуємо рівняння зведеної форми. Для цього виражаємо залежну змінну в кожному рівнянні виключно через попередньо визначені (екзогенні та лагові) змінні та випадкові величини.

2. Окремо до кожного рівняння зведеної форми застосовуємо МНК. Це можливо, оскільки пояснювальні змінні в даних рівняннях попередньо визначені, а отже, некорельовані з випадковими величинами.

3. Отримуємо оцінки початкових структурних параметрів з оцінених на другому етапі коефіцієнтів зведеної форми. Якщо рівняння точно ототожнене, є взаємна відповідність між структурними параметрами та коефіцієнтами зведеної форми.

Задача

Для побудови лінійної виробничої функції утворена сукупність спостережень, яка приведена в таблиці.

Таблиця 1. - Вхідні дані (Варіант № 20)

Номер спостережень	Випуск продукції (Y)	Трудові ресурси (Х1 )	Виробничі фонди (Х2 )
1	6	3	6
2	6	4	7
3	7	4	7
4	6	3	7
5	5	4	8
6	6	4	8
7	6	4	8
8	6	3	8
9	6	4	8
10	6	4	8
Сума	60	37	75

Необхідно знайти для виробничої функції вигляду: у = а₀ + а₁ х₁ + а₂ х₂ +u значення оцінок параметрів.

Розв’язок.

За даними таблиці 1 утворимо систему нормальних рівнянь, для цього запишемо матриці:

Х= Х^Т = Y=;

Далі знайдемо матрицю моментів:

В=Х^T Х=х ==72

Х^Т Y=х=

Систему нормальних рівнянь запишемо як:

х=

Знайдемо матрицю В^-1 - обернену до матриці В:

В^-1 =

Далі знаходимо:

= (Х^T Х) - ¹ Х^Т Y=х=

Запишемо виробничу функцію:

у = 7,267 + 0,358х₁ - 0,088х₂ +е.

1) Середня ефективність показників розраховується за формулою:

, де =а₀ +а_{1 +} а₂