Контрольная работа: Роль простых чисел в математике

2127 - 1 = 170 141 183 560 469 231 731 687 303 715 884 105 727
также простое. Оно содержит 39 цифр. Для его вычисления были механические настольные счетные машины. В 1957 г. было найдено следующее простое число: 23217 – 1. А простое число 244 497 – 1 состоит из 13 000 цифр.

УЗЫ ДРУЖБЫ В МИРЕ ЧИСЕЛ

Два натуральных числа m и n называются дружественными, если сумма собственных делителей m равна n , а сумма собственных делителей n равнаm .

История дружественных чисел теряется в глубине веков. По свидетельству античного философа Ямвлиха(III-IV вв.), великий Пифагор на вопрос, кого следует считать своим другом, ответил:<<Того, кто является моим вторым я, как числа 220 и 284>>. Проверьте, пожалуйста, что числа 220 и 284 дружественные.

Для нахождения дружественных чисел арабский ученый Сабит Ибн Курра (IX в. ) предложил хитроумный способ: задавшись натуральным числом n, подсчитать спамогательные величины p = 3*2n -1 – 1, q=3*2n -1 и r= 9*2 2n – 1`-1. Если окажется, что числа p, q, r простые, тогда числа А = 2npq и В = 2nr дружественные.

Пифагорова пара 220 и 284 получаются по этому методу при n=2. Следующую пару чисел – 17 296 и 18 416 – обнаружили независимо друг от друга марокканский ученый Ибн Аль – Банна и три столетия спустя француз Пьер Ферма. В этом случае n=4. Третью пару – 9 363 584 и 9 437 056 (при n=7) – указал в 1638 г. Рене Декарт. Дальнейшие попытки найти дружественные пары при не больших значениях n к успеху не приводят. Более того способ Сабита ибн Курры не выявляется ни одной новой пары дружественных чисел, если n увеличивать до 20 000! Неужели дружественные числа – алмазы-самородки и для подсчета их пар многовато пальцев одной руки?

В 1747-1750 гг. Леонард Эйлер провел уникальные числовые раскопки. Он придумал оригинальные методы поиска и обнаружил сразу 61 новую пару дружественных чисел. Примечательно, что среди них оказались и не четные числа: 69 615 и 11 498 355; 87 633 и 12 024 045. Сейчас известно около 1100 пар дружественных чисел. Любопытно, что в 1866 г. итальянский школьник Н. Паганини (однофамилец известного скрипача) нашел пару дружественных чисел 1184 и 1210, которую все, в том числе и выдающееся математики, проглядели!

Вот пары дружественных чисел в пределе 100 000:

220 – 284

1184 – 1210

2620 – 2924

5020 – 5564

6232 – 6368

10744 – 10856

12285 – 14595

17296 – 18416

63020 – 76084

66928 – 66992

67095 – 71145

69615 – 87633

79750 – 88730

Дружественные числа продолжают скрывать множество тайн. Есть ли смешанные пары, у которых одно число четное, а другое не четное? Существует общая формула, описывающая все дружественные пары? На эти и другие вопросы ответы пока не найдены.

Из опыта вычисления люди знали, что каждое число является либо простым, либо произведением нескольких простых чисел. Но они не умели этого доказывать. Пифагор или кто-то из его последователей нашел доказательство этого утверждения.

Теперь легко объяснить роль простых чисел в математике: они являются теми кирпичиками, из которых с помощью умножения строят все остальные числа. Хорошо было бы, если все простые числа можно было сосчитать! Пусть их было бы хоть миллион – все равно мы знали бы, что, перемножая эти простые числа, можем получить все остальные. Но это оказалось не так. Через два столетия после Пифагора греческий геометр Евклид написал книгу <<Начала>>. И одними из утверждений этой книги было следующее: самого большого простого числа не существует.

Простые числа в натуральном ряде чисел, расположены очень причудливо. Иногда между ними есть только одно четное число (все простые числа, кроме числа 2, нечетные). Такими близнецами так их зовут в науке, являются: 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31. До сих пор не известно, есть ли самые большие близнецы или нет. А иногда между соседними простыми числами лежит пропасть в миллионы и миллиарды чисел. Первым глубокие результаты о том, как разбросаны простые числа среди остальных натуральных чисел, получил великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев, основатель и руководитель русских математических исследований в прошлом веке.

ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

Из простых чисел можно получить любое число с помощью умножения. А что будет, если складывать простые числа? Конечно, если брать сколько угодно слагаемых, то можно получить любое число: четные числа получаются путем сложения двоек, а не четные путем сложения одной тройки и нескольких двоек. Но живший в России в XVIII веке математик Гольдбах решил складывать нечетные простые числа лишь попарно. Он обнаружил удивительную вещь: каждый раз ему удавалось представить четное число в виде суммы двух простых чисел. Вот эти разложения для двухзначных чисел (как это было во времена Гольдбаха, мы считаем 1 простым числом):

4=1+3, 6=1+5, 8=1+7, 10=3+7, 12=5+7, 14=3+11,

16=3+13, 18=5+13, 20=3+17, 22=11+11, 24=11+13,

26=13+13, 28=23+5, 30=23+7, 32=19+13, 34=17+17,

36=17+19, 38=19+19, 40=37+3, 42=37+5, 44=37+7,