Курсовая работа: Поверхности второго порядка

Обозначим эти числа соответственно через a² , b² , с² . Поcли несложных преобразований уравнение (2) двуполостного гиперболоида можно записать в следующей форме:

Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

Если двуполостный гиперболоид задан своим каноническим уравнением, то оси Ох, Оу и Оz называются его главными осями.

4. Коэффициент а₄₄ равен нулю. В этом случае поверхность S называется конусом второго порядка.

Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ одного знака, то левая часть (2) обращается в нуль (а₄₄ = 0) лишь для х=у=z=0, т. е. уравнению поверхности S удовлетворяют координаты только едной точки. В этом случае поверхность S называется мнимым конусом второго порядка. Если коэффициенты a₁₁ , а₂₂ , a₃₃ имеют разные знаки, то поверхность S является вещественным конусом второго порядка.

Обычно уравнение вещественного конуса второго порядка записывают в канонической форме. Пусть, ради определенности,

a₁₁ > o, а₂₂ > 0, a₃₃ < 0. Обозначим

соответственно через а² , b² , с² . Тогда уравнение (2) можно записать в виде

Уравнение (6) называется каноническим уравнением вещественного конуса второго порядка.

2. Классификация нецентральных поверхностей второго порядка.

Пусть S — нецентральная поверхность второго порядка, т. е. поверхность, для которой инвариант I₃ равен нулю. Произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид

a´₁₁ х´² + а´₂₂ у´² + a´₃₃ z´² + 2а´₁₄ x´ + 2а´₂₄ у´+2а´₃₄ z´ +а´₄₄ = 0 (7)

для системы координат Ox´y´z´

Так как инвариант I₃ = 0 и его значение, вычисленное для уравнения (7) , равно

a´₁₁ • а´₂₂ • a´₃₃ , то один или два из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃ равны нулю. В соответствии с этим рассмотрим следующие возможные случаи.

1. Один из коэффициентов a´₁₁ , а´₂₂ , a´₃₃ равен нулю. Ради определенности будем считать, что a´₃₃ = 0 (если равен нулю какой-либо другой из указанных коэффициентов, то можно перейти к рассматриваемому случаю путем переименования осей координат). Перейдем от координат х', у', z' к новым координатам х, у, z по формулам

Подставляя х', у' и z', найденные из (8), в левую часть (7) и заменяя затем

a´₁₁ на a₁₁ , а´₂₂ на а₂₂ , а´₃₄ на pи а´₄₄ на q, получим следующее уравнение поверхности S в новой системе координат Oxyz :

a₁₁ х² + а₂₂ у² + 2pz + q = 0 (9)

1) ????? ? = 0, q = 0. ??????????? S ??????????? ?? ???? ??????????

При этом, очевидно, эти плоскости будут мнимыми, если знаки a₁₁ и а₂₂ одинаковы, и вещественными, если знаки a₁₁ и а₂₂ различны.

2) Пусть р = 0, q ≠ 0. Уравнение (9) принимает вид

a₁₁ х² + а₂₂ у² + q = 0 (10)

Известно, что уравнение (10) является уравнением цилиндра с образующими, параллельными оси Оz. При этом если a₁₁ , а₂₂ , q имеют одинаковый знак, то левая часть (10) отлична от нуля для любых х и y, т. е. цилиндр будет мнимым. Если же среди коэффициентов a₁₁ , а₂₂ , q имеются коэффициенты разных знаков, то цилиндр будет вещественным. Отметим, что в случае, когда a₁₁ и а₂₂ имеют одинаковые знаки, aq — противоположный, то величины положительны.

Обозначая их соответственно через а² и b² , мы приведем уравнение (10) к виду

Таким образом, в отмеченном случае мы имеем эллиптический цилиндр. В случае, a₁₁ и а₂₂ имеют различные знаки, мы получим гиперболический цилиндр. Легко убедиться, что уравнение гиперболического цилиндра может быть приведено к виду