Курсовая работа: Програма, яка знаходить квадратні корені коплексних чисел

(u+vi) 2=a+bi

випливає

(2)

Зводячи в квадрат обидві частини кожного з рівностей (2), а потім складаючи їх одержуємо:

відкіля

позитивний знак узятий тому, що числа u i v дійсні, і тому ліва частина рівності позитивна. З цієї рівності і з першого з рівностей (2) одержуємо:

Ми приходимо, витягаючи корені, до двох значень для u, що відрізняється друг від друга знаком, а також до двох значень для v. Усі ці значення будуть дійсними, тому що квадратні корені будуть шукаються при будь-яких a і b з позитивних чисел. Отримані значення для u і v не можна комбінувати між собою довільним образом, тому що, через другий з рівностей (2), знак добутку uv повинний збігатися зі знаком b. Це дає дві можливі комбінації значень u і v, тобто два числа виду u+vi, що можуть служити значеннями квадратного кореня з числа б. Ці числа відрізняються друг від друга знаком. Елементарна, хоча і громіздка, перевірка (зведенням отриманих чисел у квадрат, окремо для випадку b>0 і для випадку b<0) показує, що знайдені нами числа дійсно є значеннями квадратного кореня з числа б. Таким чином, витяг квадратного кореня з комплексного числа завжди можливо і дає два значення, що відрізняються друг від друга знаком.

Зокрема, тепер робиться можливим витяг квадратного кореня і з негативного дійсного числа, причому значення цього кореня будуть чисто мнимими. Справді, якщо a<0 і b=0, то , тому що цей корінь повинний бути позитивним, а тоді тобто u=0, відкіля .

Спроби витягу з комплексних чисел, заданих у виді a+bi, коренів більш високого ступеня, чим друга, зустрічаються з невизначеними ускладненнями. Так, якби ми захотіли в такий же спосіб витягти з числа a+bi кубічний корінь, те повинні були б вирішити деяке допоміжне кубічне рівняння. З іншого боку, тригонометрична форма дуже добре пристосована для витягу коренів будь-якого ступеня і, користаючись нею, ми зараз цілком вичерпаємо це питання.

Нехай потрібно витягти корінь n-й ступеня з числа Припустимо, що це зробити можна і що в результаті вийде число тобто

(3)

Тоді, по формулі Муавра, , тобто де в правій частині коштує однозначно визначене позитивне значення кореня n-й ступеня з позитивного дійсного числа r. З іншого боку, аргумент лівої частини рівності (3) є n0. Не можна затверджувати, однак, що n0 дорівнює , тому що ці кути можуть у дійсності відрізнятися на доданок, що є деяким цілим кратним числа . Тому , де до – ціле число, відкіля

Назад, якщо ми беремо число те при будь-якім цілому до, позитивним чи негативної, n-я ступінь цього числа дорівнює б. Таким чином,

(4)

Даючи до різні значення, ми не завжди будемо одержувати різні значення шуканого кореня. Дійсно, при

(5)

ми одержимо n значень кореня, що усі будуть різними, тому що збільшене то на одиницю спричиняє збільшення аргументу на . Нехай тепер до довільно. Якщо k=nq+r, то

тобто значення аргументу при нашому до відрізняється від значення аргумента при k=r на число, кратне , ми одержуємо, отже таке ж значення кореня, як при значенні до, рівному r, тобто вхідним у систему (5).

Опис програми

n-показник степеня кореня;

a,b,f – дійсна, уявна частини та аргумент z;

;

i – номер кореня;

x,y – масиви дійсних та уявних частин коренів.