Первый шаг даёт

,

где

На втором шаге матрица А⁽¹⁾ умножается справа на матрицу

и слева на обратную к ней матрицу

Очевидно, что элементы матрицы

.

Это означает, что два предпоследних столбца матрицы А⁽²⁾ имеют необходимый вид. Продолжая этот процесс, после n-1 шагов придем к матрице

,

которая имеет форму Фробениуса и подобная к входной матрице А. При этом на каждом шаге элементы матрицы А^{( j )} находятся по элементам матрицы А^{( j -1 )} также, как мы находили элементы матрицы А⁽²⁾ по элементам А⁽¹⁾ . При этом предпологается, что все элементы отличные от нуля. Если на j-ом шаге окажется, что , то продолжать процесс в таком виде не будет возможно. При этом могут возникнуть два случая:

1. Среди элементов есть хотя бы один, отличный от нуля, например . Для продолжения процесса поменяем в А^{( j )} местами первый и -й строчки и одновременно 1-й и -й столбцы. Такое преобразование матрицы А^{( j )} будет подобным. После того, как получим матрицу , процесс можно продолжать, т.к. столбцы матрицы А^{( j )} ,приведённые к необходимому виду не будут испорчены.

2. Все элементы равны нулю. Тогда матрица А^{( j )} имеет вид , где F- квадратичная матрица порядка j, которая имеет нормальный вид Фробениуса; В—квадратная матрица порядка n-j, но , то есть характеристический многочлен матрицы F является делителем характеристического многочлена матрицы А. Для нахождения характеристического многочлена матрицы А необходимо еще найти характеристический многочлен матрицы В, для которой используем этот же метод.

Подсчитано, что количество операций умножения и деления, необходимых для получения характеристического многочлена матрицы порядка n составляет n(n-1)(2n+3)/2.

На данном этапе работы мы получили характеристический полином, корнями которого будут собственные числа матрицы А. Процедура нахождения корней полинома n-ой степени не проста. Поэтому воспользуемся пакетом MathCAD Professional для реализации данной задачи. Для поиска корней обычного полинома р(х) степени n в Mathcad включена очень удобная функция polyroots(V). Она возвращает вектор всех корней многочлена степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющим длину равную n+1. Заметим, что корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Таким образом мы имеем собственные числа, при помощи которых мы найдём собственные векторы нашей матрицы А. Для нахождения собственных векторов воспользуемся функцией eigenvec(A,v_i ), где А-исходная матрица, v_i -собственное число, для которого мы ищем собственный вектор. Данная функция возвращает собственный вектор дня v_i .

Указания по применению программы

Данная курсовая работа выполнена на языке программирования Pascal. В курсовую работу входит файлdanil.exe. Danil.exe предназначен для нахождения характеристического полинома методом Данилевского. Входными параметрами является размерность матрицы и сама матрица, а выходным — характеристический полином.

Программная реализация

Программный кодпрограммы danil.exe

uses wincrt;

label 1;

type mas=array[1..10,1..10]of real;

var A,M,M1,S:mas;

z,max:real;

f,jj,tt,ww,v,h,b,y,i,j,w,k,e,l,q,x,u:byte;

p,o:array[1..10]of real;

t:array [1..10]of boolean;

procedure Umnogenie(b,c:mas; n:byte; var v:mas);

var i,j,k:byte;

begin