Курсовая работа: Законы больших чисел

в) Распределение Пуассона.

Предположим, что случайные величины _k имеют распределение Пуассона {p(k;)}. Тогда Sn имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием и дисперсией, равными n.

Написав вместо n, мы заключаем, что при n

(1.5)

Суммирование производится по всем k от 0 до . Ф-ла (1.5) имеет место и тогда, когда произвольным образом.

Доказательство закона больших чисел

Проведем это доказательство в два этапа. Сначала предположим, что существует, и заметим, что в этом случае D(S„)по теореме о дисперсии суммы. Согласно неравенству Чебышева, при любом t> 0

(2.1)

При t> nлевая часть меньше, чем, а последняя величина стремится к нулю. Это завершает первую часть доказательства.

Отбросим теперь ограничительное условие существования D(). Этот случай сводится к предшествующему методом усечения.

Определим два новых набора случайных величин, зависящих от , следующим образом:

U_k =, V_k =0, если (2.2)

U_k =0, V_k =, если

Здесь k=1,… , п и фиксировано. Тогда

=U_k +V_k (2.3)

при всех k.

Пусть {f(_j )} — распределение вероятностей случайных величин (одинаковое для всех _j ). Мы предположили, что = M() существует, так что сумма

(2.4)

конечна. Тогда существует и

(2.5)

где суммирование производится по всем тем j, при которых . Отметим, что хотя и зависит от п, но оно одинаково для

U₁ , U_2, ..., U_n . Кроме того, при , и, следовательно, для произвольного > 0 и всех достаточно больших n

.(2.6)

Далее, из (2.5) и (2,4) следует, что

(2.7)

U_k взаимно независимы, и с их суммой U₁ +U₂ +…+U_n можно поступить точно так же, как и с X_k в случае конечной дисперсии, применив неравенство Чебышева, мы получим аналогично (2.1)

(2.8)

Вследствие (2.6) отсюда вытекает, что

(2.9)