Курсовая работа: Знаходження власних значеннь лінійого оператора

2. Матриця лінійного оператора

Нехай – деякий лінійний оператор у просторі . Виберемо в який-небудь базис . Оператор відображає вектори цього базису в деякі вектори . Кожен вектор єдиним способом лінійно виражається через вектори базису . Припустимо, що

Складемо з коефіціентів матрицю . Рядками матриці є координатні рядки векторів в базисі . Оскльки координатні рядки векторів визначені однозначно, то й матриця визначається оператором в базисі .

Будемо вважати, що в базисі лінійний оператор задається матрицею .

Отже, при зафіксованому базисі кожному лінійному оператору простору відповідає певна квадратна матриця -го порядку – матриця цього оператора.

3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора

Означення 1. Підпростір лінійного простору називається інваріантним відносно оператора , якщо , тобто якщо образ будь-якого вектора із міститься в .

Нехай –одновимірний підпростір простору , а –деякий лінійний оператор цього простору. Підпростір , як відомо, породжується будь-яким своїм вектором , тобто є сукупністю всіх векторів виду , де – будь яке число з поля Р. Якщо підпростір інваріантний відносно оператора , то , тобто , де ­–деяке число з поля Р. Тоді й для будь-якого вектора підпростору , бо , і тому .

Означення 2. Вектор , що заддовільняє співвідношення , де називається власним вектором оператора , а число – власним значенням оператора , що відповідає власному вектору .

Отже, якщо одглвимірний підпростір простору інваріантний відносно лінійного оператора , то всі вектори цього підпростору є власними векторами оператора з тим самим власним значенням оператора .

Практична частина

1. Опис програми

n – вимірність матриці;

m – максимальне допустиме число ітерацій;

e – точність;

a – на вході – двовимірний масив елементів матриці А, на виході матриця А блочно-діагональна, причому блоки розміри 1х1 містять дійсні власні значення, блоки розміру 2х2 містять комплексні власні значення, записані в стовпцях (рядках) для правих (лівих) власних векторів;

t – двовимірний масив власних векторів А;

b – цілочислова змінна.

Лінійний оператор потрібно задати за допомогою матриці.

2. Текст програми

uses crt;

const dim=10;

type ar=array[1..dim,1..dim]of real;

var ff:text;

i100,j100,n100,b,m:integer;

e:real;

a,t:ar;

procedure eigen(n,m:integer;e:real;var a,t:ar;var b:integer);

var c,c1,c2,co,ch,d,e1,f,g,h,p,r,s,s1,s2,si,sh,x,y:real;