Лабораторная работа: Дифференцирование, интегрирование, вычисление пределов, сумм, рядов функций и математических выражений в системе Maple

int (выражение, переменная = a..b);

где a и b являются пределами интегрирования, причем эти пределы могут быть и аналитическими выражениями.

Пример 2. Интегрирование функций.

> f:=x^2*cos(k*x);

> int(f,x);

> int(f,x=0..1);

> Int(f,x=0..Pi);

> value(%);

Для символьного вычисления определенного интеграла существуют две опции, управляющие обработкой разрывов подынтегральной функции. Эти опции задаются третьим параметром в командах int( ) и Int( ).

По умолчанию команда интегрирования проверяет выражение на не­прерывность в области интегрирования и вычисляет интеграл как сумму от­дельных определенных интегралов на промежутках непрерывности функции. Опция `continuous` отключает этот режим и вычисляет интеграл как разность значений первообразной подынтегральной функции в точке начала и конца промежутка интегрирования. Еще одна опция `CauchyPrincipalValue` вычисляет несобственные интегралы первого и второго рода в смысле главного значения Коши.

Если Maple не находит замкнутую форму выражения для определенно­го интеграла, то команда интегрирования возвращает вызов самой себя (в области вывода печатается математическая запись вычисления интеграла, как при обращении к отложенной команде интегрирования). В таких случаях можно вычислить значение определенного интеграла численным способом с помощью команды evalf ( ). Синтаксис при этом следующий:

evalf( int (f,x=a. .b) ) ;

evalf ( Int (f,x=a. .b) ) ;

evalf (Int (f ,x=a. .b), digits, flag);

Параметр digits позволяет задать число значащих цифр при вычислени­ях приближенного значения интеграла (по умолчанию это число равно числу значащих цифр, определенных значением системной константы Digits).

При численном интегрировании по умолчанию используется квадра­турная формула Кленшо-Куртиса (Clenshaw-Curtis). Если в подынтегральном выражении встречается сингулярность, то применяется специальная методи­ка символьного анализа для ее разрешения. Для задач с неустранимыми сингулярностями используется адаптивный метод двойных экспоненциаль­ных квадратур. Параметр flag позволяет явно задать метод численного интегрирования. Он может принимать значения, представленные в табл. 1.

Таблица 1. Значения параметра flag при численном интегрировании.

Значение	Смысл
_Ccquad	Применяется только квадратура Кленшо-Куртиса без вызова процедуры обработки сингулярности
_Dexp	Применяется адаптивный метод двойных экспоненциальных квадратур
_Ncrule	Применяется метод квадратурной формулы Ньютона-Котеса, являющийся методом фиксированного порядка, и не эффективен для высоких точностей (Digits > 15)

Пример 3 помогает освоиться с использованием вышеприведенной методики.

Пример 3. Численное интегрирование функций.

> int(sin(x)*ln(x),x=0..1);

> evalf(int(sin(x)*ln(x),x=0..1));

> Int(sin(x)*ln(x),x=0..1)=evalf(Int(sin(x)*ln(x),x=0..1,20,_Dexp));