Реферат: Численная модель эволюции плавающих на сферической мантии и взаимодействующих континентов

2. Уравнения мантийной конвекции с плавающими континентами

2.1. Уравнения мантийной конвекции

Тепловая конвекция в вязкой мантии описывается распределением вектора конвективных скоростей V_i (x ,y ,z ), распределением температуры T (x ,y ,z ) и давления p (x ,y ,z ). Эти неизвестные функции находятся из решения системы трех уравнений: уравнения переноса импульса, тепла и массы

(1)

(2)

(3)

где S_{i j} - девиаторный тензор вязких напряжений,

(4)

Ra - число Рэлея, равное

(5)

Уравнения (1-3) записаны в приближении Буссинеска в безразмерных переменных. За единицу измерения для длины принята толщина мантии D , для скорости D /k , для времени D ² /k , для температуры T ₀ , для вязкости h ₀ , для давления и напряжений h ₀ k /D ² . Давление p отсчитано от его гидростатического распределения p (z ), определяемого условием p ₀ = - r ₀ g .

2.2. Уравнения движения свободно плавающего континента

На континент действует сила тяжести, приложенная к центру тяжести, и силы взаимодействия с вязкой мантией, приложенные к элементам поверхности погруженной части континента. Под действием этих сил континент плавает в мантии, перемещаясь вдоль поверхности и вращаясь вокруг вертикальной оси. Так как давление и скорости мантийных течений меняются во времени и в пространстве, то в общем случае не равны нулю как вертикальная скорость центра тяжести континента w ₀ , так и скорости вращения континента w_x и w_y вокруг мгновенных горизонтальных осей x и y .

Континенты могут опускаться (когда они находятся над нисходящими мантийными потоками) вместе с поверхностью мантии и относительно ее и подниматься (в местах восходящих потоков). При этом величина опускания и подьема разных концов континента могут быть разными. В дальнейшем будем рассматривать только горизонтальные перемещения центра тяжести континента и вращение континента вокруг локальной вертикальной оси, пренебрегая всеми остальными малыми эффектами, полагая w ₀ =0 и w_x =w_y =0.

Поскольку сила тяжести уравновешана выталкивающея силой, то внешняя сила, действующая на континент сводится к силе вязкого сцепления с мантией, при этом давление p нужно считать отсчитанным от гидростатически равновесного распределения p ₀ (z ).

Таким образом, для горизонтального движения и вращения вокруг мгновенной вертикальной оси твердого континента произвольной формы уравнения Эйлера сводятся к системе трех динамических уравнений и трех кинематических соотношений [Trubitsyn, 2000a, 2000b; Trubitsyn and Rykov, 1998a, 1998b]

(6)

(7)

(8)

(9)

где M - масса континента, I ₃₃ - его момент инерции относительно вертикальной оси, x_c (t ) и y_c (t ) - координаты центра тяжести континента, j - угол поворота континента, d_{i j} - символ Кронеккера, равный 1 при i =j и равный 0 при i j ,e_ijk - символ Леви-Чивита, равный нулю при совпадении любых двух индексов, равный 1 при четной транспозиции индексов по сравнению с 1, 2, 3 и равный - 1 - при нечетной транспозиции.

Из соотношений размерности следует, что величина инерциальных членов в левой части уравнений Эйлера для движения континентов (6-8), как и для уравнения переноса импулься в вязкой жидкости (1), имеет порядок kr /m 10^-23 . Поэтому они могут быть положены равными нулю.

После пренебрежения инерциальными членами уравнения Эйлера для движения континентов дают шесть соотношений для нахождения шести неизвестных: координат центра тяжести континента x_c (t ), y_c (t ), угла его поворота j и скоростей континента u ₀ (t ), v ₀ (t ) и w ₃ (t )

(10)

(11)

(12)

(13)

Уравнение для распределения температуры T_c внутри твердого континента в исходной неподвижной системе координат сводится к уравнению теплопроводности с адвективным переносом тепла со скоростью континента u

(14)

2.3. Граничные условия

Уравнения мантийной конвекции (1-3) и уравнения для движения континента (6-8) и переноса тепла в нем (14) связаны между собой через граничные условия.

Как указывалось, для мантийных течений на нижней и боковых границах расчетной области принимается условие непротекания и проскальзывания (равенство нулю нормальной составляющей скорости жидкости и равенства нулю тангенциальных составляющих вязких сил)

(15)

где n_k - единичный вектор, нормальный к данной поверхности и t_i - единичные вектора, касательные к ней.

На границе твердых движущихся континентов принимается условие непротекания и прилипания, т.е. равенство скоростей жидкой мантии и скоростей континента

(16)

на всей поверхности погруженной в мантию части континента.

Температура на нижней границе области фиксирована T =1. На боковых границах (для конечной области) принимается условие нулевого теплового потока

(17)

где n_k - единичный вектор, нормальный к боковой поверхности области.

На верхней свободной поверхности температура мантии равна нулю ( T =0) только в океанической области вне континента.

На поверхности погруженной в мантию части континента принимается условие непрерывности температуры и теплового потока между мантией и континентом

(18)

На верхней поверхности континента температура полагается равной нулю

(19)

Таким образом, математическая проблема сводится к следующему. Имеется три неизвестные функции координат и времени для мантийной конвекции: вектор скоростей мантийных течений V_i (x ,y ,z ,t ), распределение температуры T (x ,y ,z ,t ) и распределение давления p (x ,y ,z ,t ), а также четыре неизвестные функции времени для движения континентов как целых: две компоненты мгновенной скорости поступательного движения центра тяжести u ₀ (t ) и v ₀ (t ), одна компонента мгновенной угловой скорости вращения континента вокруг центра тяжести w (t ) и распределение температуры в континенте T_c (x ,y ,z ,t ). Для их нахождения имеется система взаимосвязанных уравнений: три дифференциальных уравнения конвекции (1-3), три интегральных соотношения (10-12), к которым свелись уравнения Эйлера и уравнение переноса тепла в континенте (14). Зная в данный момент положение и скорости континента u ₀ (t ), v ₀ (t ) и w (t ), можно по (9) найти его положение в следующий момент времени. Для определения постоянных интегрирования дифференциальных уравнений служат граничные условия (14-16).

Отличие рассматриваемой задачи со свободно плавающим континентом от известной задачи с неподвижным континентом состоит в том, что граничные условия для скоростей течений и температуры на границе с континентом ставятся в месте нахождения в каждый данный момент плавающего континента. При этом, скорость и положение континента заранее не известны, а определяются из решения всей системы взаимосвязанных дифференциальных уравнений.

Если континентов несколько, то уравнения движения (10-13) и уравнение для температуры (14) выписываются для каждого континента. Кроме того, при столкновении твердых контнентов ставится условие невозможности их проникновения друг в друга. Для этого в моменты соприкосновения континентов в какой-либо точке к силам вязкого сцепления с мантией к каждому континенту добавляется сила расталкивания континентов, приложенная в месте их касания и направленная противоположно относительной скорости континентов. Величина этой силы находится перебором из условия соприкасания и непроникновения континентов друг в друга в данный момент.