Реферат: Элементы дифференциального и интегрального исчисления в книге П. Я. Гамалеи "Вышняя теория морского искусства"

О интеграции соизмеримых дифференциальных дробей.

О приведении коренных функций в соизмеримые дроби.

О интегралах логарифмических и неопределенно-степенных количеств.

О интегралах функций, содержащих тригонометрические линии.

О интегралах дифференциальных функций, содержащих два или большее число переменных количеств.

О дифференциальных уравнениях первого чина.

О дифференциальных уравнениях вышних чинов.

О обратном способе касательных.

Приложение интегрального вычисления к составлению меркаторских карт и к счислению пути корабля.

Остановимся теперь несколько подробнее на некоторых, на наш взгляд, любопытных моментах второго тома.

В первом разделе "Предварительные понятия" поясняются вопросы:

1) Предмет вышних вычислений: "Изыскивать отношения между изменениями количеств и от оных восходить до отношений, кои между самими количествами пребывают, есть предмет, так называемой, вышней алгебры или вышних вычислений" [2. С.2].

2) Понятия постоянного и переменного количеств: "Постоянные всегда сохраняют одинаковую величину, между тем как переменные беспрерывно увеличиваются или уменьшаются" [2. С.2]. Замечания по поводу обозначения переменных и постоянных количеств и сегодня представляются весьма полезными: "Постоянные количества означаются обыкновенно первыми буквами a, b, c и пр. Переменные же последними x, y, z и пр." [2. С.3].

3) Бесконечно великое и бесконечно малое количества "в рассуждении другого".

4) Бесконечно малые и бесконечно великие разных степеней и чинов.

Далее дается важное правило о том, "как поступать в вычислениях с бесконечными количествами", которое потом будет неоднократно применяться при вычислении дифференциалов: "Дабы в вычислениях действовать согласно с понятием, какое мы теперь дали о бесконечных количествах, должно в алгебраическом выражении, заключающем бесконечно великое количество, оставлять только члены, содержащие самую вышнюю степень сего количества, все же прочие члены, где оно в нижних степенях находится или вовсе не входит, уничтожить должно.

Напротив того, в выражении, заключающем бесконечно малое количество, должно оставлять токмо члены, содержащие окончаемыя количества ; а буде сих нет, то те, в коих бесконечно малое в самой нижней степени находится; все же прочие члены, содержащие бесконечно малые вышних чинов, уничтожать должно" [2. С.7-8].

После примера на применение этого правила делается попытка объяснения правильности выполненных операций. Для этого Гамалея использует не только теоретические рассуждения, но и для убедительности приводит пример.

В этом же разделе дается определение функции: "Всякое выражение, содержащее одно или многие переменные количества, сочетанные каким бы то ни было образом, взаимно и с постоянными количествами, называется функция или объятие оных переменных количеств". Далее разъясняется, как следует классифицировать функции на алгебраические и трансцендентные.

И, наконец, говорится о том, что представляет собой метод вышних вычислений: "Предмет вышних вычислений есть двоякий; и потому они на две части разделяются. Первая часть научает познавать изменения переменных количеств или снисходить от количеств к их стихиям; сия часть называется дифференциальное вычисление.

Вторая часть, удовлетворяющая предмету, как находить количества по их изменениям или от стихий количеств восходить к самим количествам, называется интегральное вычисление" [2. С.15-16].

В разделе "Начальные основания дифференциального исчисления" традиционно для этого периода (начиная с работ Лейбница) основным понятием выступает не производная, а дифференциал, который определяется как бесконечно малое изменение количества.

С помощью определения дифференциала и правила уничтожения бесконечно малых выводятся правила для отыскания дифференциала суммы, произведения, частного. Потом следует правило 4, которое указывает, как находить дифференциал степени. Напомним, что у Котельникова порядок иной: сначала излагаются правила отыскания дифференциала степенной функции, суммы и произведения, с помощью которых строится вывод дифференциала частного.

Для доказательства правила, кроме указанных выше приемов, используется формула бинома Ньютона для (x+dx)m. После чего приводятся 12 примеров отыскания дифференциалов от разных функций. Причем среди функций встречаются и сложные, например, x3(a+bx2)2/3 и т.п. Ни понятие сложной функции, ни, тем более, правило для отыскания дифференциала от сложной функции в общем случае не поясняется. А для конкретных примеров предполагается очевидным.

В главе "О дифференциалах логарифмических и неопределенно-степенных количеств" в основном из геометрических соображений выводится дифференциал натурального логарифма, разбирается много примеров. А в заключение приводится весьма удобное правило логарифмического дифференцирования.

Поясняя смысл понятия дифференциалов вышних чинов, автор предостерегает от ошибки смешения двух выражений: d2x и dx2, от которой и сегодня полезно было бы предупредить начинающих.

Автор знакомит читателя и с широкими применениями дифференциального исчисления к геометрии (касательные, подкасательные и поднормали параболы, эллипса, логарифмики, гипербол и т.п.) и отысканию наибольших и наименьших величин [2. С.42-128].

Раздел "Начальные основания интегрального вычисления" начинается с того, что в очередной раз уточняется смысл термина "интегральное исчисление", причем поясняется, что: "Нет ни единой окончаемой функции, которой бы нельзя было взять дифференциала; напротив того, находятся премногие дифференциальные функции, коих интегралов сыскать невозможно: иных потому, что они не полные дифференциалы и что ни от какой дифференциации произойти не могут; таковы суть ydx, xdy-ydx и пр. других по той причине, что они весьма сложны и что не найден еще способ их интегрировать" [2. С.129-130]. Таким образом в то время автор решил вопрос о существовании, который получил точное разъяснение лишь в XIX веке.

В примерах на вычисление интегралов Гамалея широко пользуется способом подстановки, знакомит со способами интегрирования биномиальных дифференциалов, тригонометрических выражений и т.п.