Реферат: Густина розподілу імовірностей одновимірної і багатовимірної випадкових величин
Знайти випадкової величини, розподіленої за нормальним законом розподілу.
Вводимо заміну
,
, отже
— інтегральна формула Муавра–Лапласа.
Тоді .
Функція розподілу випадкової величини.
Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Y прийме яке–небудь значення менше будь–якого числа X . Ця подія має певну ймовірність.
| x i | X 1 | X 2 | … | X n |
| P i | P 1 | P 2 | … | P n |
Позначимо
При зміні X будуть змінюватися і ймовірності. Отже F(x ) можна розглядати як функцію змінної величини X.
Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F(x ), яка виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення менше заданого.
F (x ) – постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її значенням.
b. Властивості функції розподілу.
Теорема 1. Ймовірність того, що випадкова величина Y прийме значення , що належить відрізку [ ], дорівнює прирощенню її функції розподілу на цій ділянці, тобто:
Теорема 2. Функція розподілу будь–якої випадкової величини являє собою неспадну функцію і змінюється від 0 до 1 , при зміні x від , тобто:
Приклад:
Команда нараховує 2 стрільці, кількість балів, що вибиваються кожним з них після одного пострілу, являють собою випадкові величини X 1 та X 2 , які характеризуються наступними законами розподілу:
| Число балів x 1 | 3 | 4 | 5 |
| P1 | 0,3 | 0,4 | 0,3 |
| Число балів x 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| P2 | 0,1 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,5 |
Причому результати пострілів одного з них не впливають на результати іншого.
Завдання:
1) Скласти закон розподілу числа балів, що вибиваються командою, якщо стрільці роблять по одному пострілу.
2) Знайти математичне сподівання для команди.
3) Знайти дисперсію.
4) Скласти та збудувати функцію розподілу.
Для розв’язання цієї задачі складемо таблицю:
| № | X і | Y і | X і +Y і | P(x і +y і )=P(x і ) × P(y і ) |
| 1 | 3 | 1 | 4 | 0,3× 0,1=0,03 |
| 2 | 3 | 2 | 5 | 0,3× 0,1=0,03 |
| 3 | 3 | 3 | 6 | 0,3× 0,1=0,03 |
| 4 | 3 | 4 | 7 | 0,3× 0,2=0,06 |
| 5 | 3 | 5 | 8 | 0,3× 0,5=0,15 |
| 6 | 4 | 1 | 5 | 0,4× 0,1=0,04 |
| 7 | 4 | 2 | 6 | 0,4× 0,1=0,04 |
| 8 | 4 | 3 | 7 | 0,4× 0,1=0,04 |
| 9 | 4 | 4 | 8 | 0,4× 0,2=0,08 |
| 10 | 4 | 5 | 9 | 0,4× 0,5=0,2 |
| 11 | 5 | 1 | 6 | 0,3× 0,1=0,03 |
| 12 | 5 | 2 | 7 | 0,3× 0,1=0,03 |
| 13 | 5 | 3 | 8 | 0,3× 0,1=0,03 |
| 14 | 5 | 4 | 9 | 0,3× 0,2=0,06 |
| 15 | 5 | 5 | 10 | 0,3× 0,5=0,15 |
Таким чином, закон розподілу числа отриманих балів команди буде:
| X і | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| P і | 0,03 | 0,07 | 0,1 | 0,13 | 0,26 | 0,26 | 0,15 |
Для обчислення математичного сподівання випадкової величини х2 складемо закон розподілу величини
| 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | |
| 0,03 | 0,07 | 0,1 | 0,13 | 0,26 | 0,26 | 0,15 |
2) Математичне сподівання
3) Знайдемо дисперсію
4) Функцію розподілу знаходимо за визначенням
,
отже