Реферат: Історія розвитку комбінаторики та деякі її застосування
Наряду з кабалістами і містиками комбінаторикою в ці темні століття занепаду науки займались астрологи. Їх цікавило питання про рух планет і їх „вплив” на долі людей. Особливе значення надавали вони порядку планет – зустрічі планет одному знаку Зодіаку. Астролог Бен Езра у 1140 році розрахував кількість суміщень семи планет по дві, по три і т. д. Він знав, що число суміщень планет по дві дорівнює числу їх суміщень по п’ять, а число суміщень по три дорівнює дорівнює числу суміщень по чотири. Якщо позначити ці твердження сучасними символами, то отримаємо рівності С2 7 = С5 7 і С3 7 = С4 7 (через Сk n визначають число суміщень з nрізних предметів поk).
В остаточному вигляді формулу для числа суміщень отримав математик Леві бен Гершон (початок XIV ст.), довівши, що
Ck n = n ( n - 1)… ( n – k + 1) (1)
Проте його робота, написана на мало досяжному для багатьох вчених древньоєврейській мові, залишилась майже непоміченою – знову формулу (1) вивів на початку XVII ст. французький математик П. Ерігон.
Комбінаторика і схоластики
Своєрідною комбінаторикою займались і логіки. Продовжуючи досліди Аристотеля, вони класифікували поняття і логічні судження. В ІІІ ст. н.е. сирієць Порфирій для класифікації понять склав особливу схему, яка отримала назву „дерево Порфирія”. На вершині цього дерева містилось найширше за об’ємом поняття, вузли дерева відповідали різним роз’ясненням поняття, а лінії між вузлами відображали підлеглість понять одне одному. Схожі дерева зараз широко використовуються додатках комбінаторики до різноманітних питань.
Один із засновників медицини, Гален, в ІІ ст. н.е. займався класифікацією силогізмів, що складалися з чотирьох частин. Римський філософ і математик Боецій (V – VІ ст. н.е.) знайшов число пар, які можна скласти з п’яти категорій модальності, беручи їх як в затверджу вальній, так і в заперечній формі і ставлячи або на місце умови, або на місце слідства. Він також класифікував умовні силогізми.
Велику увагу класифікації видів суджень приділяла схоластична наука (взагалі в схоластиці химерно переплітались богуславські „вишуканості” з вивченням проблем, прилягаючих до комбінаторики, математичній логіці, теорії множин та іншим сучасним областям математики – великими затоками схоластичних дослідів були засновники теорії множин Бернард Больцано і Георг Кантор). Сперечаючись про взаємовідносини членів пресвятої трійці, про спів підлеглість ангелів, архангелів, херувимів та серафимів, схоласти були вимушені розглядати різні відношення порядку та ієрархії – достатньо згадати найскладнішу архітектуру стародавнього світу, яку описав Данте у „Божественній комедії” з її колами пекла і різними областями раю.
Схоласт Раймонд Люллій створив у ХІІІ ст. машину, що складалася з декількох кіл, на які було нанесено основні предикати, суб’єкти, атрибути та інші поняття схоластичної логіки. Повертаючи ці кола, він отримував різні суміщення понять і сподівався отримати з їх допомогою істину.
Комбінаторика в країнах Сходу
В VIII ст. н.е. почався розквіт арабської науки. Араби переклали багато творів грецьких учених, вивчили їх, а потім просунулись вперед по областях, мало звертавших увагу греків, - в науці про рішення рівнянь (саме слово „алгебра” – арабського походження), теорії та практиці обчислень та ін. Вирішуючи питання про знаходження коренів з будь-якого степеня, арабські алгебраїсти вивели формулу для степені суми двох чисел, яка відома під невірною історичною назвою „біном Ньютона”. Напевно цю формулу знав поет і математик Омар Хайям (ХІ – ХІІ ст. н.е.). у будь-якому випадку вже і ХІІІ ст. таку формулу друкує в своїх творах Насир ад-Дин ат-Туси, а в XV ст. вона була ретельно досліджена Гияседдином ал-Каші.
Судячи по деяких європейських джерелах, східним до арабських оригіналів, для пошуків коефіцієнтів цієї формули брали число 10001 и зводили його до 2-го, 3-го, ......, 9-го степеня. Виходила таблиця в якій жирним шрифтом були виділені коефіцієнти бінома Ньютона.
1 0009 0036 0084 0126 0126 0084 0036 0009 0001
1 0008 0028 0056 0070 0056 0028 0008 0001
1 0007 0021 0035 0035 0021 0007 0001
1 0006 0015 0020 0015 0006 0001
1 0005 0010 0010 0005 0001
1 0004 0006 0004 0001
1 0003 0003 0001
1 0002 0001
1 0001
Якщо опустити в цій таблиці зайві нулі, то вийде трикутна таблиця біноміальних коефіцієнтів. Арабські вчені знали основну властивість цієї таблиці, що виражається формулою
Ck n = Ck n–1 + Ck-1 n-1
Одночасно з арабами вирахуванням біноміальних коефіцієнтів займались китайські математики. Вони склали до ХІІІ ст. н.е. таблицю таких чисел до n = 8, наведену в книзі алгебраїста Чжу Ши-дзе „Ямшове дзеркало”. Присутні здогади, що І Сінь в VIII ст. н.е. вирахував кількість різних розміщень фігур у грі, що нагадувала шахи.
Цікавились суміщеннями і в Індії. Ще в ІІ ст. до н.е. індійці знали числа С k n і той факт, що сума C 0 n + C 1 n + … + Cn n дорівнювала 2n . А в ХІІ ст. індійський математик Бхаскара написав книгу „Лілаваті”, в якій серед інших питань математики вивчає і проблеми комбінаторики. Він пише про застосування перестановок до підрахунку варіацій у віршоскладанні, різних розміщень в архітектурі та ін. Він також дає правила для пошуку числа перестановок та суміщень декількох предметів, при чому розглядає і випадок, коли в цих перестановках є елементи, що повторюються.
Liber Abaci
На початку ХІІ ст. Східна Європа почала пробуджуватися після багатовікової духовної сплячки. Розвиток торгівлі зі Сходом призвів до проникнення у Європу арабської науки. Найбільш сміливі та охочі європейці пробиралися в Іспанію, що знаходилася під владою арабів, та знайомились там не тільки з твореннями грецьких вчених, але й з досягненнями арабської та індійської наукової думки – алгеброю та десятинною системою числення.
В арабських навчальних закладах отримав освіту і Леонардо – син видатного купця, що торгував у Алжирі. У своїй книзі „LiberAbaci”, що вийшла у 1202 р., Леонардо, котрий отримав прізвисько Фібоначчі, привів в систему арифметику арабів, деякі відомості з геометрії Евкліда і додав до них результати своїх досліджень. Праця Фебоначчі містила і нові комбінаторні задачі, наприклад про пошук найменшої кількості гир, за допомогою яких можна отримати будь-яку цілу вагу від 1 до 40 фунтів. Розглядав Леонардо і пошук цілих рішень рівнянь. В подальшому аналогічні задачі призвели до пошуку кількості натуральних рішень систем рівнянь і нерівностей, які можуть розглядатися як одна з глав комбінаторики.
Проте головною заслугою Леонардо перед комбінаторикою було те, що він сформулював і розв’язав задачу про кроликів. З часів грецьких математиків були відомі дві послідовності, кожний член яких отримувався за певних умов з попередніх – арифметична і геометрична прогресії. В задачі Леонардо з’явилась нова послідовність, члени якої були пов’язані один з одним відношенням un = un -1 + un -2 . це була перша в історії науки формула, в якій наступний член виражався через два попередніх. Подібні формули отримали назву рекурентних (від лат. recurrere – повертатись). Метод рекурентних формул виявився одним із найпотужніших для рішення комбінаторних задач.
Гра в кості
Значний поштовх до розвитку комбінаторики дали азартні ігри, які існували ще в глибоку давнину, але отримали особливе розповсюдження після хрестових походів. Найбільшу популярність отримала гра в кості – два чи три кубики з нанесеними на них очками кидали на стіл, і вигравав той, хто отримував більшу кількість очок. В кості грали повсюди, виграючи та програючи в них золото, замки, дорогоцінні камені та коней. Атос – один з героїв „Трьох мушкетерів” – зумів грати навіть на свого слугу Гримо. Постанови церковних соборів містили досить суворі заборони цієї гри. Мусульманські вчені писали про гру в нарди, в якій пересування шашок визначалося кидком костей: „Як же ганебно для мудрого стати рабом двох камінців до такої міри, що він віддає свої досягнення та свою землю в їх руки, і вони наказують йому і забороняють, а він підкоряється їх керівництву більше, ніж підкоряється верблюд, коли його веде маленька дівчинка”.
Але ніщо не допомагало, і вбудь-якому місті можна було спостерігати картину, описану в „Божественній комедії” Данте:
Когда кончается игра в три кости,
То проигравший снова их берет,