Реферат: Коливання фізичного маятника

(4)

де J_z - момент інерції тіла відносно осі обертання, М_z - головний момент сил, що діють на тіло.

Зовнішніми діючими силами є вага маятника Р та реакція вісі підвісу Х ₀ , Y ₀ . Головний момент цих сил відносно осі z визначається моментом сили Р :

(5)

де m - маса маятника, g - прискорення вільного падіння біля поверхні Землі, d - відстань центра маси маятника від початку координат.

Підставивши рівність (5) у рівність (4), дістанемо диференціальне рівняння руху фізичного маятника:

(6)

Інтегруючи рівняння (6), знайдемо закон зміни кута повороту φ зі зміною часу.

Оскільки рівняння (6) інтегрується у еліптичних функціях часу, обмежимося розглядом малих відхилень, для яких можна покласти sin φ ≈ φ (7)

Тоді рівняння (6) прийме вигляд:

(8)

в якому (9)

Таким чином, малі відхилення фізичного маятника описуються лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами відносно узагальненої координати φ .

Рівняння (8) інтегрується в елементарних функціях. Загальний його розв’язок має вигляд:

(10)

Рухи, що їх описує рівність (10) є гармонійними коливаннями . У цій рівності постійна А називається амплітудою коливань, постійна α є початковою фазою коливань, n - круговою частотою.

Константи А і α визначаються з початкових умов.

Таким чином, при малих відхиленнях фізичний маятник здійснює гармонійні коливання.

У дійсності коливання маятника є лише наближено гармонійними, оскільки рівняння (10) є розв’язком наближеного диференціального рівняння руху.

Час ввести поняття періоду коливань фізичного маятника: періодом коливань фізичного маятника називають проміжок часу, що протікає між двома послідовними проходженнями центра мас маятника через деяке фіксоване положення на його траєкторії у певному фіксованому напрямку.

З визначення випливає, що алгебраїчні значення sin (nt + α ) у вказані моменти часу повинні співпадати, а φ має зберігати свій знак.

Якщо період коливань позначити через Т , то:

(11)

Звідси (12)

З формули (12) видно, що період малих коливань фізичного маятника не залежить від початкових умов. Такі коливання називають ізохронними.

Рівністю (12) також користуються для експериментального визначення моментів інерції І_z тіл довільної геометричної форми.

Для цього експериментально визначають період коливань Т , вагу тіла Р та відстань центру інерції від осі підвісу d .

Виразивши з рівності (12) І_z та підставляючи всі знайдені величини, знаходять значення моменту інерції тіла відносно осі підвісу.

Користуючись теоремою Штейнера, визначають момент інерції тіла відносно довільної осі, що паралельна осі підвісу.

Висновки