Реферат: Математические методи в психології

S - это греческая прописная буква "сигма". Х_i читается как "сумма Х_i когда i пробегает значения от 1 до 5". Х_i читается как "сумма Х_i когда i пробегает значения от 1 до n ".

Общепризнанно, что краткое обозначение S является экономным. Статистики извлекают из этою большую пользу.

Сложение чисел, умноженных, например, на 6 или возведенных в квадрат (это значит умноженных на самих себя), осуществляется, как обычно. Допустим, мы хотим умножить каждое из n чисел на 2 и сложить результаты. Искомая сумма есть

2X₁ + 2X₂ +...+2X_n .

Но вы наверняка заметите, что эта сумма - то же самое, что и

2(X₁ + X₂ +...+X_n ).

Используя S-обозначение, мы можем заменить (X₁ + 2X₂ +...+2X_n ) на Х_i Результат можно записать так:

2X₁ + 2X₂ +...+2X_n = 2Х_i = 2 Х_i

Этот результат возник не вследствие какого-либо магического свойства числа 2: с числами 4, 60 или 131,4 результат будет тот же. В самом деле, если с представляет собой какое-либо постоянное число (то есть число, которое не зависит от i ), то

с X₁ + с X₂ +...+с X_n = с Х_i = с Х_i (Правило 1)

Если постоянное число (константу) с прибавить к каждому из n чисел, то получим

X₁ + с, X₂ + с, …, X_n + с

Сумма этих значений

(X₁ + с ) + (X₂ + с ) + … + (X_n +с ) = ( Xi +с )

При сложении мы всегда можем перегруппировать числа в любом порядке до того, как складывать

( Xi +с ) = (X₁ + X₂ +...+X_n ) + (с + с + … + с )

Первая сумма в круглых скобках справа дает Х_i

Какова же вторая сумма в круглых скобках? Сколько с сложено? Ответ: n. Поэтому вторая сумма равна nс . Следовательно,

( X_i +с ) = Х_i + с = Х_i + nс (Правило 2)

Другое важное выражение - сумма квадратов n чисел

(X₁ X₁ ) + (X₂ X₂ ) + ... + (X_n X_n ) = + + … + ,

которое символически изображается как Х

Аналогично

+ + … + = Х

хотя в элементарной статистике это выражение встречается редко.

Заметим, что Х_i символически изображает единственное число: число, которое получается в результате сложения n чисел.

Х_i может быть 10, 13 или 1300. сХ_i это произведение двух чисел с и Х_i . (Х_i ) (Х_i ) является произведением числа (некоторой суммы), умноженного на самого себя. Мы также запишем это следующим образом:

(Х_i ) (Х_i ) = (Х_i )²

Если Х₁ = 3, Х₂ = 6, а Х₃ = 1, то Х_i = 10, а (Х_i )² = 100.

Обычным в статистическом анализе является выражение

(X_i +с )² = (X₁ + с)² + (X₂ + с)² + ... + (X_n +с)²

(X_i +с )² , равное (X_i +с ) (X_i +с ), иначе можно записать так:

X_i + с

Действительно, тогда

(X_i +с )² = (Х + 2сХ_i +с² )

Выражение в скобках можно записать n раз следующим образом:

Х + 2сХ₁ +с²

Х + 2сХ₂ +с²

^{… … …}

^{… … …}

Х + 2сХ_n +с²

Чему равна сумма первого столбца данного выражения? Она равна Х+ Х + … + Х = Х. Какова сумма второго столбца? Она составляет

2сХ₁ + 2сХ₂ + … + 2сХ_n = 2с (Х₁ + Х₂ + … + Х_n ),

что более кратко можно записать как 2с Х_i . Какова сумма третьего столбца? Она представляет собой с² + с² + ... + с² = nc ² . Складывая суммы этих трех столбцов, имеем

(X_i +с )² = Х + 2сХ_i .+ nc ² . (Правило 3)

Хотя такие действия правильны, в них нет необходимости. Вместо этого можно "распределить" знак суммирования перед каждым членом и получить непосредственно тот же результат:

(X_i +с )² = (Х + 2сХ_i +с² ) = Х + 2сХ_i + с² =

= Х + 2сХ_i .+ nc ² .