Реферат: Математические понятия
П6: фигура - множество точек.
Как видно, этот процесс сведения одних понятий к другим доходит до понятий "множество" и "точка", которые принимаются за первоначальные и именно поэтому не определяются через другие понятия.
Итак, первоначальные, исходные понятия не определяются явным образом через другие понятия данной теории. Это, однако, не означает, что они никак не определяются. В аксиомах выражаются основные свойства исходных понятий и отношений между ними, которыми пользуются при развертывании теории на базе этих аксиом, т. е. при доказательстве теорем и определении других (определяемых) понятий. Поэтому системы аксиом можно рассматривать как неявные, косвенные определения исходных понятий. Таким образом, когда говорят, например, что понятия "точка" и "прямая" - исходные понятия и поэтому не определяются, надо это понимать точнее: "не определяются явно через другие понятия".
Один и тот же раздел школьного курса математики может строиться с помощью различных систем понятий, различающихся между собой порядком введения понятий или самими понятиями. Выбор исходных понятий не определяет однозначно последовательность изучения понятий системы. Система понятий оказывается лишь частично упорядоченной. Например, в традиционной системе понятий стереометрии такие понятия, как "угол скрещивающихся прямых" и "перпендикулярность прямых и плоскостей", могут изучаться в любом порядке. В учебнике А. П. Киселева угол скрещивающихся прямых изучался после перпендикулярности и поэтому перпендикулярность прямых в пространстве, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трех перпендикулярах формировались лишь в частных случаях. В результате такого расположения материала учащиеся изучали теорему о трех перпендикулярах лишь для случая, когда прямая на плоскости проходит через основание наклонной, и не могли видеть ее применение в задачах, где прямая на плоскости не проходит через основание наклонной. В большинстве же случаев именно такая ситуация наблюдается в задачах.
Об определении не имеет смысла говорить, истинно оно или ложно. Определение может бить правильным (корректным) или неправильным (некорректным) в зависимости от того, удовлетворяет оно или нет определенным требованиям.
Важнейшим требованием, предъявляемым к определениям, является отсутствие порочного круга. Нарушение этого требования проявляется в том, что определяемое содержится (явно или неявно) в определяющем. Например, фразы: "Решение уравнения - это то число, которое является его решением", "Подобными называются фигуры, которые между собой подобны" - не могут служить определениями решения уравнения и подобных фигур соответственно, так как в каждом из этих предложений содержится порочный круг.
Порочный круг может относиться не к отдельному определению, а к двум или нескольким определениям. Например, в двух определениях: "Угол называется прямым, если его стороны взаимно перпендикулярны" и "Две прямые взаимно перпендикулярны, если они образуют прямой угол" - имеется порочный круг, так как в одном понятие прямого угла определяется через перпендикулярные прямые, а в другом это второе понятие определяется через первое.
Другое важное требование, выполнение которого необходимо для корректности определения, - это отсутствие омонимии: каждый термин (символ) должен встретиться не более одного раза в качестве определяемого. Нарушение этого требования приводит к тому, что один и тот же термин (символ) обозначает различные понятия, т. е. нарушается один из принципов употребления символов или терминов в качестве имен.
Определенные языковые выражения (символы искусственного языка или термины, слова или группы слов естественного языка) выполняют функцию обозначения. Они сопоставляются определенным классам объектов (вещей, отношений) или их мысленным образам (понятиям) в качестве названий, имен.
Связь имен с их значениями (с обозначаемыми ими объектами) отражает связь мышления с речью. Формирование понятий возможно лишь при условии их именования, т. е. приписывания им определенных имен. Поэтому важно напомнить принципы корректного употребления имен.
1) Принцип предметности: предложение говорит о предметах, имена которых встречаются в этом предложении (а не об их именах). Например, предложение "3 < 5" говорит о том, что число, обозначенное цифрой 3, меньше числа, обозначенного цифрой 5, т. е. говорит о числах, а не об их именах, встречающихся в этом предложении; предложение "Треугольник - многоугольник" говорит о том, что класс объектов, обозначаемых термином "треугольник", является подклассом класса объектов, обозначаемых термином "многоугольник", т. е. говорит об объектах, имена которых встречаются в этом предложении, а не о самих этих именах.
2) Принцип однозначности: каждый символ (термин), используемый в качестве имени, обозначает не более одного объекта, иными словами, каждое имя имеет не более одного значения. Почему не говорим, что каждое имя имеет точно одно значение, а говорим: "не более одного значения"? Например, утверждая, что число а нельзя делить на 0, мы не утверждаем, что невозможна запись "а: 0"; эта запись столь же допустима, как, например, запись "о: 2". Утверждается лишь отсутствие объекта, имя которого есть языковое выражение "а: 0", т. е. это выражение не является именем какого-либо числа, или это имя без значения.
Нарушение принципа однозначности имеет серьезные последствия, особенно в обучении, так как это означает применение имен с более чем одним значением, приводящее к путанице и смещению понятии.
3) Принцип замены имен: предложение не меняет своего истинностного значения, когда одно из входящих в него имен заменяется другим именем, имеющим то же самое значение (т. е. синонимом).
Различные имена одного и того же предмета часто поразному характеризуют его, с помощью различной информации о нем. В таком случае говорят, что имена имеют одно и то же значение, но различные смыслы. Например, одна и та же прямая может обозначаться символом "а" или символом "АВ". Первое из этих именпростое имя, произвольно закрепляемое за прямой (мы можем обозначить эту же прямую буквой b ), рассматриваемое как неделимое. Второе имя "AB" - составное имя, содержащее другие имена ("A", "В") в качестве своих частей и обладающее строением, отражающим тот способ, которым оно обозначает предмет (прямую, проходящую через точки А и В). Вполне понятно, что второе, составное имя обладает большей познавательной ценностью. Оно сообщает нам, что обозначаемая этим именем прямая проходит через точки А и В.
Таким образом, в отношении именования участвуют три различных понятия: "имя", "значение имени", "смысл имени". Говорят, что имя называет свое значение и выражает свой смысл (или что оно имеет такоето значение и такой-то смысл), а смысл определяет значение.
Из сказанного следует, что надо различать выражения "Не имеет смысла" и "Не имеет значения". Например, в области натуральных чисел имя "корень уравнения х + 4 = 3" не имеет значения. В то же время это имя имеет ясный смысл: это такое число, что после подстановки его вместо х в данное уравнение слева и справа от знака равенства получатся имена одного и того же числа. Точно так же в области действительных чисел имя "
" не имеет значения, но имеет смысл (такое число, что после возведения его в квадрат получится число - 4) или имя "2 : 0" не имеет значения, но имеет смысл (число, которое, будучи умножено на 0, дает 2).
В школьном преподавании необходимо тщательно следить за тем, чтобы употребляемые термины и символы имели определенные смысл и значение.
Не все явные определения можно отнести к определениям через ближайший род и видовое отличие. Приведем примеры:
(1) "Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна любой прямой этой плоскости",
(2) "Число а делится на число b, если существует число с такое, что а = b * с",
В каждом из этих определений новое отношение (определяемое) определяется через ранее известные отношения (определяющие): перпендикулярность прямой и плоскости - через перпендикулярность прямых, отношение "делится на" - через отношение "быть произведением". Все эти определения являются явными, но в них нельзя выделить ближайший род и видовое отличие.
Применяемый здесь знак "
" читается: "означает по определению" или "тогда и только тогда по определению".
Добавление "по определению" существенно потому, что, хотя словесные формулировки явных определений имеют вид повествовательных предложений, эти предложения не выражают высказывания (в том смысле, в каком термин "высказывание" понимается в математической логике), так как бессмысленно говорить об их истинности или ложности. Поэтому, в частности, нет смысла их доказывать или опровергать. С логической точки зрения словесные формулировки определений ближе к повелительным, чем к повествовательным предложениям, их можно рассматривать как приказы или разрешения пользоваться одним выражением (определяемым) вместо другого, более громоздкого (определяющего).
Знание определения еще не гарантирует усвоения понятия. Один из аспектов формализма в математических знаниях состоит именно в том, что некоторые учащиеся, зная точную формулировку определения, не распознают определяемый объект в различных ситуациях, где он встречается. Поэтому методика обучения должна разрабатывать систему работы с определениями, чтобы преодолеть возможный формализм в их усвоении.
Важное место в этой работе занимает обучение распознаванию объекта, соответствующего данному определению, и построению разного рода контрпримеров. Для этой цели необходимо ясно представить себе структуру определения.
Под структурой определения, построенного по схеме А(х) В(х) понимают структуру его правой части, т. е. предложения "В". В школьной математике встречаются определения различной структуры, порой довольно сложной, и, чем сложнее структура определения, тем более тщательной должна быть работа по его разъяснению, по предупреждению формального усвоения.
Одна из наиболее распространенных структур определений - конъюнктивная структура.
Пока индуктивные определения редко встречаются в школьном обучении, но, учитывая их широкое распространение и значение в математике (рекурсивные функции - одно из математических уточнений интуитивного понятия алгоритма), можно предполагать, что их применение в обучении математике будет постепенно разширяться.