Реферат: Математический анализ

Определитель этой системы отличен от нуля и задача имеет единственное решение. Но система степеней не ортогональна, и при больших значениях n задача плохо обусловлена. Эту трудность можно обойти, используя многочлены ортогональные с заданным весом на заданной системе точек, но к этому прибегают только в задачах, связанных с особенно тщательной статической обработкой эксперимента.

Полиномы Чебышева

Критерии согласия данного метода — минимизация максимальной ошибки.

Полиномы Чебышева определяются следующим образом: Tn(x)=cos(n×arccos(x))

Например: T0(x)=cos(0)=1,

T1(x)=cos(q)=x,

T2(x)=cos(2q)=cos2(q)-sin2(q)=2x2-1.

Можно было бы и дальше использовать тригонометрические соотношения для нахождения полиномов Чебышева любого порядка, но будет лучше установить для них рекурентное соотношение, связывающее Tn+1(x), Tn(x) и Tn-1(x):

Tn+1(x)=cos(nq+q)=cos(nq)cos(q)-sin(nq)sin(q),

Tn-1(x)=cos(nq-q)=cos(nq)cos(q)-sin(nq)sin(q).

Складывая эти неравенства, получим:

Tn+1(x)+Tn-1(x)=2cos(nq)cos(q)=2xTn(x);

Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x).

Рис. 1

Применяя полученные формулы можно найти любой полином Чебышева. Например, Т3(x)=2xT2(x)-T1(x). Подставляя значения T2(х) и Т1(х) имеем Т3(х)=2х(2х2-1)-х=4х3-3х. Графически первые 10 полиномов Чебышева изображены ниже. Последующие полиномы по-прежнему колеблются между +1 и -1, причём период колебания уменьшаются с ростом порядка полинома.

Преобразования q=arccos(x) можно рассматривать как проекцию пересечения полукруга с множеством прямых, имеющих равные углы между собой (рис.1). Таким образом, множество точек xj, на котором система чебышевских многочленов Tn(x) ортогональна, таково:

, (j=0, 1, 2, …,N-1)

Так как Tn(x) есть, по существу, cos(nq), то они являются равноколеблющимеся функциями, и так как они многочлены, то обладают всеми свойствами ортогональных многочленов.

Чебышев показал, что из всех многочленов Рn(x) степени n старшим коэффициентом 1, у многочлена точная верхняя грань абсолютных значений на интервале -1£x£1 наименьшая. Так как верхняя грань Tn(x)=1, указанная верхняя грань равна .

Практическое задание

На практике нам нужно было изучить приближение нашей функции полиномами Тейлора.

Как уже упоминалось выше, многочлены Тейлора легко вычислять, а так же превращать в степенные ряды. В этом мы и убедились на практике.

Ниже представлена таблица коэффициенты первых 12-и полиномов Чебышева, а также таблица коэффициентов перед полиномами Чебышева, выражающие первые 12 степеней х.

Эти данные мы получили, используя программы на страницах

В этих программах использовались следующие алгоритмы:

Преобразование коэффициентов полинома Чебышева в коэффициенты традиционного многочлена.

Вводим коэффициенты a0, a1, …, an многочлена T(x) и образуем массив ai.

Для j=2, 3, …, n и k=n, n-1, …, j в первом случае поднимаясь, а во втором спускаясь, проводим преобразование коэффициентов по следующим формулам:

а) ak-1=ak-2-ak