Реферат: Независимость событий в примере Бернштейна с правильным тетраэдром

Пусть событие А и В1 независимы и независимы так же события А и В2, при этом В1В2 = Ø. Тогда независимы события А и В1+В2.

Следующие равенства доказывают это свойство:

Р(А(В1+В2)) = Р(АВ1+АВ2) = Р(АВ2) = =Р(А)(Р(В1))+Р(В2)) = Р(А)Р(В1+В2)

Как мы увидим ниже, требование В1В2 = Ø здесь существенно.

Пусть событие А означает выпадение герба в первом из двух бросаний симметричной монеты, событие В – выпадение решетки во втором бросании. Вероятность каждого из этих событий равна ½. Вероятность пресечения АВ будет равна

Таким образом, события А и В независимы.

Пусть событие А состоит в том, что случайно брошенная точка попала в области, распложенную правее абсциссы а1, событие В – в том, что точка попал в область расположенную выше ординаты b.

На рисунке обе области заштрихованы. Событие АВ на рисунке заштриховано в клеточку. Очевидно, Р(АВ) = Р(А)Р(В) и, значит, события А и В независимы.

Легко проверить также, что ели событие В означает, что брошенная точка попала треугольник FCD, то событие А и В будут уже зависимыми.

События В1,В2,…Вn независимы в совокупности, если для любых 1 ≤ i1<i2<…<ir ≤ in=2,3,…, n

Попарной независимости событий недостаточно для независимости n в совокупности. Это показывает следующий пример.

Рассмотрим такой эксперимент. На плоскость бросается тетраэдр, три грань которого покрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвета, а на четвертую нанесены все три цвета событие К означает, что при бросании тетраэдра на плоскость выпала грань, содержащая красный цвет, событие С – грань, содержащая синий цвет, и событие З – грань, содержащихся зеленый цвет. Так как каждый из трех цветов содержится на двух гранях, то Р(К) = Р(С) = Р(З) = ½. Вероятность пересечения любой пары веденных событий равна ¼ = ½ ´ ½ , так как любая пара цветов присутсвует только для одной грани. Это означает попарную независимость всех трех событий.

Но:

Список литературы

Хеннекен П.А. «Теория вероятности»

Гурский Е.И. «Теория вероятности и математическая статистика».

Барковский В.В. «Теория вероятности и математическая статистика».