Реферат: Основные требования. Квалификация размеров и теоретические основы аксонометрического проецирования

Немецкий ученый Карл Польке (1810-1876) сформулировал основную теорему аксонометрии: три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала.

Согласно этой теореме, любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые отрезки произвольной длинны на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов.

В практике построения аксонометрических изображений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и аксонометрических масштабов: прямоугольная изометрия и диметрия, косоугольная фронтальная диметрия, кабинетная проекция и др.

Виды проекций

Метод прямоугольного проецирования на несколько плоскостей проекций, обладая многими достоинствами, вместе с тем имеет и существенный недостаток: изображения не обладают наглядностью. Одновременноe рассмотрение двух (а иногда и более) изображений затрудняет мысленное воссоздание пространственного объекта. При выполнении технических чертежей часто оказывается необходимым наряду с изображением предметов в системе ортогональных проекций иметь изображения более наглядные. Для построения таких изображений применяют способ аксонометрического проецирования, состоящий в том, что данный предмет вместе с системой трех взаимно перпендикулярных осей координат, к которым он отнесен в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций (или картинной плоскостью). Проекция на этой плоскости называется аксонометрической или сокращенно аксонометрией.

Проекции осей X, Y, Z - прямые X', Y', Z' называются аксонометрическими осями. Пространственная координатная ломаная линия O a_x a A проецируется в плоскую ломаную линию O' a'_x a' A', называемую аксонометрической координатной ломаной. Точка A'- аксонометрическая проекция точки A; точка a' представляет собой аксонометрическую проекцию точки a. Аксонометрическую проекцию любой ортогональной проекции точки A называют вторичной проекцией точки A. Hа осях X, Y, Z отложен отрезок е, принимаемый за единицу измерения по этим осям. Отрезки e_x , e_y , e_z на аксонометрических осях представляют собой проекции отрезка e. Они являются единицами измерения по аксонометрическим осям. В общем случае e_x , e_y , e_z не равны e и не равны между собой. Отношения k = e_x /e, m = e_y /e, n = e_z /e называются коэффициентами (или показателями) искажения по аксонометрическим осям. Отношения между аксонометрическими проекциями отрезков, параллельных осям координат X, Y, Z и самими отрезками равны коэффициентам k, m, n. Коэффициенты искажения и угол v, образованный направлением проецирования с картинной плоскостью, связаны зависимостью

k² + m² + n² = 2 + ctg² (v)

Так как взаимное расположение картинной плоскости Р и координатных осей X, Y, Z, а также направление проецирования могут быть различными, то можно получать множество различных аксонометрических проекций. Если направление проецирования не перпендикулярно к картинной плоскости Р, то аксонометрическая проекция называется косоугольной; если же перпендикулярно, - то прямоугольной. Если все три показателя искажений между собой не равны, то проекция называется триметрической; если два показателя искажения равны (например, k = n), а третий отличен от них, то проекция называется диметрической; наконец, если все три показателя равны (k = m = n), то проекция называется изометрической. В практике большое распространение получили прямоугольные изометрическая и диметрическая проекции.

Характеристика прямоугольных аксонометрических проекций

Коэффициенты искажения Картинная плоскость, пересекая плоскости координат, образует треугольник, называемый треугольником следов. Точка O' пересечения перпендикуляра с плоскостью Р представляет собой прямоугольную аксонометрическую проекцию точки O, а отрезки O' Р'_x , O' Р'_y и O' Р'_z - прямоугольные аксонометрические проекции отрезков координатных осей OР'_x , OР'_y , OР'_z . Треугольники OO'Р'_x , OO'Р'_y , OO'Р'_z - прямоугольные, отрезки O'Р'_x , O'Р'_y , O'Р'_z являются их катетами, а отрезки OР'_x , OР'_y , OР'_z - гипотенузами. Отсюда

O'Р_x O'Р_y O'Р_z

------ = cos , ------ = cos , ----- = cos ,

OР'_x OР'_y OР'_z

где , , - углы наклона координатных осей X, Y, Z к плоскости

аксонометрических проекций. Так как

O'Р_x O'Р'_y O'Р'_z

----- = k, ----- = m, ----- = n, то k = cos , m = cos , n = cos .

OР'_x OР'_y OР'_z

В прямоугольной аксонометрии коэффициенты искажения связаны зависимостью:

k² + m² + n² = 2

Изометрическая проекция Так как k = m = n, то 3k² = 2, k = 0,82, следовательно, коэффициенты искажения по осям X', Y', Z' = 0,82. Изометрическую проекцию для упрощения, как правило, выполняют без искажения по осям X', Y', Z', т.е. приняв коэффициент искажения равным 1, что соответствует увеличению линейных размеров изображения по сравнению с действительными в 1/0,82 = 1,22 раза.

Диметрическая проекция Если взять n = k и m = 1/2 k, то получим 2k² + k² /4 = 2, k² = 8/9, k = 0,94, следовательно, по осям X' и Z' коэффициенты искажения k = n = 0,94, а по оси Y' коэффициент искажения m = 0,47. Диметрическую проекцию, как правило, выполняют без искажения по осям X' и Z' и с коэффициентом искажения 0,5 по оси X'. В этом случае линейные размеры увеличиваются в 1/0,94 = 1,06 раза.

Углы между аксонометрическими осями в прямоугольных аксонометрических проекциях аксонометрические оси являются высотами треугольника следов, а точка Oр - точкой их пересечения (ортоцентром).

Нанесение линий штриховки Согласно ГОСТ 2.317 - 68 ЕСКД линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из проекций диагоналей квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны координатным осям.

Аксонометрические проекции плоских фигур

Построение изображений плоских многоугольников сводится к построению аксонометрических проекций их вершин, которые соединяют между собой прямыми линиями. В виде примера рассмотрим построение пятиугольника. Линии X, Y примем за координатные оси. Проводим изометрические оси X_р и Y_р . Для построения изображения точки 1 достаточно на оси Yр отложить отрезок O_р -1, равный по величине координате Y₁ . Затем откладываем в ту же сторону от точки O_р отрезок O_р -t, равный координате Y₂ , и через точку t проводим прямую ab, параллельную оси X_р . Координаты X₂ вершин 2 и 5 пятиугольника одинаковы по величине, но различны по знакам; поэтому на изометрическом изображении откладываем в обе стороны от точки t отрезки t-2 = t-5 = X₂ . Сторона 3-4 пятиугольника параллельна оси X. Отложив от точки q по оси Y_р отрезок q-O_р , равный координате Y₃ , проводим прямую cd, параллельную оси X_р , и откладываем на ней отрезки q-3 = q-4 = X₃ . Соединив точки 1, 2, 3, 4, 5 прямыми линиями, получаем аксонометрическую проекцию пятиугольника. Построение аксонометрических проекций плоской кривой сводится к построению проекций ряда ее точек и соединению их в определенной последовательности. Hа эллипсе намечаем ряд точек и определяем их прямоугольные координаты X и Y. Проведя аксонометрические оси, откладываем от точки O_р вдоль оси X_р отрезки, равные по величине координатам X намеченных точек, а вдоль оси Y_р - отрезки, равные по величине половине координат Y (показано построение точек a, b, c, d). Через концы отрезков проводим прямые, параллельные осям X_р , Y_р ; на их пересечении получаем аксонометрические проекции соответствующих точек, которые соединяем плавной линией.

Процесс создания аксонометрической проекции окружности

Как известно, прямоугольной проекцией окружности, расположенной в плоскости, составляющей угол V с плоскостью проекций Р, является эллипс. Большая ось A_р B_р эллипса - проекция диаметра AB, параллельного плоскости Р. Отрезок A_р B_р перпендикулярен к проекции C_р N_р , и малая ось D_р E_р эллипса (проекция диаметра DE) cовпадает с прямой C_р N_р . При построении аксонометрических проекций часто приходится строить изображения окружностей, расположенных в координатных плоскостях XY, XZ, YZ или в плоскостях, им параллельных. В этом случае нормалями к плоскости окружностей являются соответственно оси Z, Y, X. Следовательно, направления больших осей эллипсов, изображающих проекции окружностей, всегда перпендикулярны соответственно осям Z_р , Y_р , X_р , а малые оси совпадают по направлению с этими осям. Большие оси соответствуют тем диаметрам изображаемых окружностей, которые параллельны картинной плоскости. Если аксонометрическое изображение выполняется с сокращением по направлениям осей X_р , Y_р , Z_р , то большие оси эллипсов 1, 2, 3 равны диаметру d изображаемых окружностей. В изометрической проекции малые оси эллипсов равны 0,58d. В диметрической проекции малые оси эллипсов 1, 3 равны d/3, а малая ось эллипса 2 равна 0,88d.

Особенности создания проекций трехмерных тел