Реферат: Поверхні обертання Циліндричні та конічні поверхні Канонічні рівняння поверхонь другого порядку

3.7.4. Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди

При обертанні гіперболи навколо осі (яка її не перетинає) одержимо поверхню, яка називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання

В результаті стиску цієї поверхні по осі ми отримаємо поверхню, що називається однопорожнинним гіперболоїдом (рис.3.28). рівняння цієї поверхні має вигляд

(3.48)

Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда (3.48) проходять дві прямі (прямолінійні твірні)

Дійсно, перемноживши два рівняння і скоротивши на , отримаємо тобто рівняння однопорожнинного гіперболоїда (3.52). А це значить, що всі точки прямих ліній при

всеможливих значеннях і лежать на однопорожнинному гіперболоїді.

Такі ж міркування можна провести і для сімейства прямих

Поверхня, що складається із прямих ліній, називається лінійчатою поверхнею. Отже, однопорожнинний гіперболоїд – приклад лінійчатої поверхні.

Рис. 3.28 Рис.3.29

Якщо обертати гіперболу навколо осі (осі, яка її перетинає), то отримаємо поверхню, що називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання . Рівняння цієї поверхні

В результаті стиску цієї поверхні одержимо поверхню з рівнянням

(3.49)

Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння вигляду (3.49), називається двопорожнинним гіперболоїдом (рис.3.29). Двом віткам гіперболи відповідають дві не зв’язані між собою частини поверхні.

3.7.5. Еліптичний та гіперболічний параболоїди

При обертанні параболи навколо її осі симетрії отримаємо поверхню, що називається параболоїдом обертання . Її рівняння

або

Стискаючи її до площини параболоїд обертання переходить в поверхню з рівнянням

(3.50)

Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння (3.50), називається еліптичним параболоїдом (рис.3.30). Відмітимо, що перерізи еліптичного параболоїда площинами, що перпендикулярні осі представляють собою еліпси, а площинами, що паралельні площинам та параболи.

Поверхня, що має в деякій прямокутній декартовій системі координат рівняння

(3.51)

називається гіперболічним параболоїдом (рис.3.31). Її ще називають сідлом .

Гіперболічний параболоїд будується таким чином: задаються дві параболи і одна з них переміщується так, щоби її вершина ковзала по другій, причому обидві осі парабол паралельні, параболи знаходяться у взаємно перпендикулярних площинах і їх вітки направлені в протилежні сторони. При такому переміщенні рухома парабола описує гіперболічний параболоїд.