Реферат: Применение точечных и интервальных оценок в теории вероятности и математической статистике

При выборе оценок следует принимать во внимание перечисленные свой свойства и учитывать относительную простоту вычислений. Нередко выбирается не эффективная оценка только потому, что ее вычисление намного проще, чем вычисление эффективной оценки. Например, при контроле качества продукции мерой разброса совокупности часто служит выборочный размах, используемой вместо более сложной и более эффективной оценки – выборочного стандартного отклонения. Отметим, что при оценивании на основе малого числа наблюдений различие в эффективности оценок невелико.

Интервальное оценивание

Мы рассмотрели оценки неизвестных параметров закона распределения случайной величины Х по данным выборки. Получаемые при этом точечные оценки ãi не совпадают (за исключение редких случаев) с истинным значением неизвестных параметров аi. Следовательно, всегда имеется некоторая погрешность при замене неизвестного параметра его оценкой, т.е. |ã – а|<d:

(1.1)

И если эта вероятность близка к единице, т.е. если,то диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на, равен ±d. Причем большие про абсолютной величине ошибки появляются с вероятностью e, e>0.

Чем меньше для данного e>0 будет d>0, тем точнее оценка ã. Из соотношения (1.1) видно, что вероятность тог, что интервал ] ã - d; ã+d [ со случайными концами накроет неизвестный параметр, равна 1 - e. Эта вероятность называется доверительной вероятностью.

Случайный интервал, определяемый результатами наблюдений, который с заданной вероятностью а = 1 - e накрывает неизвестный параметр а, называемый доверительным интервалом для параметра а, соответствующим доверительной вероятности а = 1 - e.

Граничные точки доверительного интервала называются соответственно нижним и верхним доверительным пределами.

Заданному а = 1 - e соответствует неединственный доверительный интервал. Доверительные интервалы могут изменяться от выборки к выборке. Более тог, для данной выборки различные методы построения доверительных интервалов могут привести к различным интервалам. Поэтому выработаны определенные правила. Используя их и эффективные оценки неизвестных параметров, получают кратчайшие интервалы для заданной доверительной вероятности а = 1 - e.

Рассмотрим общие принципы построения доверительных интервалов. Предположим, что доверительный интервал находим для некоторого параметра а совокупности и в качестве точечной оценки этого параметра возьмем выборочную несмещенную М(ã) = а и эффективную оценку ã = ã(Х1; Х2;… Хn), имеющую среднее квадратическое отклонение sã.

Если бы закон распределения оценки ã был известен, то для нахождения доверительного интервала нужно было бы найти такое значение d, для которого . Но закон распределения оценки ã зависит от закона распределения случайной величины Х и, следовательно, от его неизвестного параметра а. Для того чтобы не применять закон распределения случайной величины Х, поступают следующим образом.

Так как мы считаем значение выборки х1, х2, х3,…,хn, имеющими те же законы распределения, что и исследуемая случайная величина Х, то, согласно центральной предельной теореме (теоретическое выборочное распределение средних при большом n может быт хорошо аппроксимировано соответствующим нормальным распределением параметрами М() = М() и , большинство числовых характеристик выборки имеют нормальное или близкое значение к нормальному выборочное распределение.

Поэтому с помощью вероятностей, которые находим из таблиц нормального распределения, где , для заданного d можно найти такое интервал ] ã - d; ã+d [, в котором лежит значение ã, вычисленное по данной выборке можно решить и обратную задачу: по данной вероятности найти значение d

, такое что .

Неравенства а - d≤ ã ≤а + d эквивалентны неравенствам ã - d≤ а ≤ ã + d (вычтем ã - d из каждой части и умножим на –1). Тем самым указаны методы построения доверительных интервалов ] ã - d; ã + d [ для параметра а.

Таким образом, при построении доверительных интервалов составляется случайная величина Y (например, , связанная с неизвестным параметром а, его оценкой и имеющая известную плотность распределения вероятностей p(y). Используя эту плотность, определим доверительный интервал по формуле .

В качестве доверительно вероятности (иначе – уровня доверия) обычно полагают

а =0,95 (0,99). Это значит, что при извлечении n выборок из одной и той же генеральной совокупности доверительный интервал примерно в 95% (99%) случаев будет накрывать неизвестный параметр (относительно неизвестного параметра вероятные события не допускаются). При увеличении же доверительной вероятности строится более широкий доверительный интервал, который малопригоден для практики. Еще раз подчеркнем, что чем меньше длина доверительного интервала, тем точнее оценка.

Отметим, что для точного нахождения доверительных интервалов необходимо знать закон распределения случайной величины Х, тогда как для применения приближенных методов это не обязательно.

Список литературы

Гурский Е.И. «Теория вероятности и математическая статистика».

Хеннекен П.А. «Теория вероятности»

Барковский В.В. «Теория вероятности и математическая статистика».