Реферат: Проекции точки

В дальнейшем при обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси (— О X , — О Y , — О Z ) указываться не будут.

ТРИ КООРДИНАТЫ И ТРИ ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ЕЕ РАДИУСА-ВЕКТОРА.

Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определе­ ния ее положения в пространстве или на поверхности.

В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоу­гольных декартовых координат х, у и z .

Координату х называют абсциссой , у — ординатой и z — аппликатой. Абсцисса х определяет расстояние от дан­ной точки до плоскости W , ордината у — до плоскости V и аппликата z - до плос­кости H . Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рисунке, составим таблицу знаков координат во всех восьми октантах. Ка­кая-либо точка пространства А, заданная координатами, будет обозначаться так: A (х, у, z ).

Если х = 5, y = 4 и z = 6, то запись примет следующий вид А (5, 4, 6). Эта точ­ка А, все координаты которой положитель­ны, находится в первом октанте

Координаты точки А являются вместе с тем и координатами ее радиуса-вектора

ОА по отношению к началу координат. Если i , j , k — единичные векторы, направ­ленные соответственно вдоль координат­ных осей х, у, z (рисунок), то

ОА = О A_x i +ОА _y j + ОА _z k , где ОА_Х , ОА_У , ОА_г — координаты векто­ра ОА

Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели (рисунок) рекомендуется осуществлять с помощью координатного прямоугольного параллелепипеда. Прежде всего на осях координат от точки О откладывают отрез­ки, соответственно равные 5, 4 и 6 едини­цам длины. На этих отрезках ( О a_x , О a_y , О a_z ), как на ребрах, строят прямоугольный параллелепипед. Вершина его, проти­воположная началу координат, и будет определять заданную точку А. Легко заме­тить, что для определения точки А доста­точно построить только три ребра парал­лелепипеда, например О a_x , a_x a ₁ и a ₁ А или О a_y , a_y a ₁ и a ₁ A и т. д. Эти ребра образу­ют координатную ломаную линию, длина каждого звена которой определяется со­ответствующей координатой точки.

Однако построение параллелепипеда по­зволяет определить не только точку А, но и все три ее ортогональные проекции.

Лучами, проецирующими точку на плос­кости H , V , W являются те три ребра параллелепипеда, которые пересекаются в точке А.

Каждая из ортогональных проекций точки А, будучи расположенной на плоско­сти, определяется только двумя координа­тами.

Так, горизонтальная проекция a ₁ опре­деляется координатами х и у, фронтальная проекция a ₂ — координатами х и z , про­фильная проекция a ₃ — координатами у и z . Но две любые проекции определяются тремя координатами. Вот почему задание точки двумя проекциями равносильно за­данию точки тремя координатами.

На эпюре (рисунок), где все плоскости проекций совмещены, проекции a ₁ и a ₂ окажутся на одном перпендикуляре к оси О X , а проекции a ₂ и a ₃ — на одном пер­пендикуляре к оси OZ .

Что касается проекций a ₁ и a ₃ , то и они связаны прямыми a ₁ a_y и a ₃ a_y , перпендикулярными оси О Y . Но так как эта ось на эпюре занимает два положения, то отре­зок a ₁ a_y не может быть продолжением отрезка a ₃ a_y .

Построение проекций точки А (5, 4, 6) на эпюре по заданным координатам выполня­ют в такой последовательности: прежде всего на оси абсцисс от начала координат откладывают отрезок О a_x = х (в нашем случае х = 5), затем через точку a_x прово­дят перпендикуляр к оси О X , на котором с учетом знаков откладываем отрезки a_x a ₁ = у (получаем a ₁ ) и a_x a ₂ = z (получаем a ₂ ). Остается построить профильную проекцию точки a ₃ . Так как профильная и фронтальная проекции точки должны быть расположены на одном перпендикуляре к оси OZ , то через a ₃ проводят прямую a ₂ a_z ^ OZ .

Наконец, возникает последний вопрос: на каком расстоянии от оси О Z должна находиться a₃ ?

Рассматривая координатный параллелепипед (см. рисунок), ребра которого a_z a ₃ = Oa_y = a_x a ₁ = y заключаем, что ис­комое расстояние a_z a ₃ равно у. Отрезок a_z a ₃ откладывают вправо от оси ОZ, если у>0, и влево, если у<0.

Проследим за тем, какие изменения про­изойдут на эпюре, когда точка начнет менять свое положение в пространстве.

Пусть, например, точка А (5, 4, 6) станет перемещаться по прямой, перпендикуляр­ной плоскости V . При таком движении будет меняться только одна координата у, показывающая расстояние от точки до плоскости V . Постоянными будут оста­ваться координаты х и z , а проекция точ­ки, определяемая этими координатами, т. е. a ₂ не изменит своего положения.

Что касается проекций a ₁ и a ₃ , то пер­вая начнет приближаться к оси О X , вто­рая — к оси О Z . На рисунках новому положению точки соответствуют обозначе­ния a ¹ (a ₁ ¹ a ₂ ¹ a ₃ ¹ ). В тот момент, когда точка окажется на плоскости V (y = 0), две из трех проекций (a ₁ ² и a ₃ ² ) будут лежать на осях.

Переместившись из I октанта во II , точ­ка начнет удаляться от плоскости V , ко­ордината у станет отрицательной, ее абсо­лютная величина будет возрастать. Горизонтальная проекция этой точки, будучи расположенной на задней полуплоскости H , на эпюре окажется выше оси О X , а профильная проекция, находясь на задней полуплоскости W , на эпюре будет слева от оси О Z . Как всегда, отрезок a_z a ₃ ³ = у.

На последующих эпюрах мы не станем обозначать буквами точки пересечения ко­ординатных осей с линиями проекционной связи. Это в какой-то мере упростит чер­теж.

В дальнейшем встретятся эпюры и без координатных осей. Так поступают на практике при изображении предметов, когда существенно только само изображе­ ние предмета, а не его положение относи­ тельно плоскостей проекций.

Плоскости проекций в этом случае определены с точностью лишь до параллельно­го переноса (рисунок). Их обычно переме­щают параллельно самим себе с таким расчетом, чтобы все точки предмета оказа­лись над плоскостью H и перед плоско­стью V . Так как положение оси X₁₂ оказы­вается неопределенным, то образование эпюра в этом случае не нужно связывать с вращением плоскостей вокруг координатной оси. При переходе к эпюру плоскости H и V совмещают так, чтобы разноименные проекции точек были распо­ложены на вертикальных прямых.

Безосный эпюр точек А и В (рисунок) не определяет их положения в пространстве, но позволяет судить об их относительной ориентировке. Так, отрезок △x характери­зует смещение точки А по отношению к точке В в направлении, параллельном плоскостям H и V. Иными словами, △x указывает, насколько точка А расположе­на левее точки В. Относительное смещение точки в направлении, перпендикулярном плоскости V, определяется отрезком △y, т. е. точка А в нашем примере ближе к наблюдателю, чем точка В, на расстоя­ние, равное △y.

Наконец, отрезок △z показывает превы­шение точки А над точкой В.