Реферат: Производная в курсе алгебры средней школы
1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 . Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -, то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума.
2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 , причем f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, то в точке x0 функция f(x0 ) имеет максимум, если f ''(x0 ) < 0 и минимум, если f ''(x0 ) > 0.
Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной).
Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью:
π(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10
Решение:
π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → qextr = 4
При q < qextr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает
При q > qextr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.
4-2. Эластичность спроса
Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел
Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса ED - это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если │ED │>1, то спрос называется эластичным, если │ED │<1, то неэластичным. В случае ED =0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию.
4-3. Предельный анализ
Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных)
В экономике часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисление.
5. Производная в приближенных вычислениях
5-1. Интерполяция
Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бóльшую точность.
Пусть Kn - система узловых точек a = x0 < x1 <…< xn = b. Функция Sk (x) называется сплайн-функцией Sk (x) степени k≥0 на Kn , если
а) Sk (x) є Ck -1 ([a, b])
б) Sk (x) - многочлен степени не большей k
Сплайн-функция Ŝk (x) є Sk (Kn ) называется интерполирующей сплайн-функцией, если Ŝk (xj ) = f(xj ) для j = 0,1,…,n
В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию.
Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є [xj -1 ,xj ]
Здесь s2 j , cj 1 , cj 0 неизвестны для j = 1, 2, …, n
Последние исключаются в силу требования s(xj ) = yj :
Дифференцируя эту функцию и учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений:
относительно n+1 неизвестных s2 0 , s2 1 ,…, s2 n. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения:
Нормальный случай( N):
Периодический случай( P) (т. е. f( x+( xn - x0 ))= f( x)):
Заданное сглаживание на границах:
Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sinx, n=4.
Функция периодическая, поэтому используем случай P.
| j | xj | yj | hj | yj -yj-1 |
| 0 | 0 | 0 | π/2 | 1 |
| 1 | π/2 | 1 | π/2 | -1 |
| 2 | π | 0 | π/2 | -1 |
| 3 | 3π/2 | -1 | π/2 | 1 |
| 4 | 2π | 0 |
Сплайн-функция получается такая:
5-2. Формула Тейлора
Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в программировании и других дисциплинах