Реферат: Развитие математики в России в середине XVIII века
Таким образом, уже на рубеже XVII и XVIII веков возникла необходимость в выражении понятий функциональной зависимости, свободном от геометрического и механического облачения, и задача выделения важнейших классов функций. Первый значительный шаг в решении этой проблемы сделал в 1718 г. И. Бернулли. Он писал: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Непосредственным развитием определения Бернулли явилась трактовка Эйлера понятия функциональной зависимости в первом томе «Введение в анализ»: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств»[4] .
Эйлерово определение функции – это по сути определение функции комплексного переменного однако смысл его становится отчетливым лишь после того, как выясняется содержание понятий «аналитическое выражение».
Именно здесь Эйлер и подходит к классификации функций. В качестве допустимой операции при составление, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, решение алгебраических уравнений интегрирование. Функции, получаемые в результате этих действий, исключая интегрирование, Эйлер называет алгебраическим и делит их на рациональные (целые и дробные) и иррациональные. Применение названных операций к элементарным трансцендентным функциям eⁿ, lnn, sinn, cosnприводит его к трансцендентным функциям[5] .
Кроме расширения области значений аргумента Эйлер сделал принципиальный шаг вперед в выяснении важнейших общих свойств функций как аналитических выражений. Функции, заданные единым аналитическим выражением, он называет непрерывными, вкладывая, таким образом, в это понятие смысл, отличительный от нашего понимания непрерывности. Разрывными функциями у него называются функции, заданные на разных кусках интервала различными аналитическими выражениями[6] .
Учитывая запас операций, принятый для образования аналитических выражений Эйлер должен был получить функции аналитические в современном определении всюду, за исключением изолированных особых точек. В окрестности же этих точек получаемые функции должны были допускать разложение в обобщенный степенной ряд, который мог содержать дробные и отрицательные степени. Таким образом, выделяя класс непрерывных функций, Эйлер по сути выделял класс аналитических функций в смысле современной теории функций комплексного переменного. Именно поэтому установленные Эйлером важнейшие свойства непрерывных функций оказываются основными свойствами аналитических функций в смысле современного определения. Одно из этих свойств – представимость функции степенным рядом.
В более поздней работе (1767г.) Эйлер выясняет другое существенное свойство непрерывных функций, состоящее в том, что значения любой функции на сколь угодно малом интервале. Иными словами, любой как угодно малый кусок непрерывной кривой определяет всю эту кривую. Эйлер установил еще два общих свойства непрерывных функций. По Эйлеру, функции разрывные являются либо кусочно-аналитическими в смысле современного определения, либо аналитическими. В дальнейшем эйлерову трактовку понятия функциональной зависимости будем называть трактовкой узкого определения функции. Это понятие Эйлер рассматривает во втором томе«Введение в анализ» (1748г.).
Содержанием второго тома является введение в область геометрических приложений анализа. Исследуя вопросы аналитической геометрии, Эйлер принял условие: не пользоваться «никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии». Основную задачу он ставит в смысле изучения зависимости между аппликатой (ординатой) и абсциссой, поэтому область изменения аргумента ограничивается лишь полем действительных чисел. Расширению подвергается само понятие функциональной зависимости. Как сама геометрия, таки одна из важнейших проблем математической физики - задача о колебании струны – привела Эйлера к необходимости введения в анализ разрывных функций, т.е. функций, «лишенных закона непрерывности». Задача колебания струны потребовала изучения «механических» кривых, или кривых, получаемых «свободным влечением руки».
Проблема колебания струны оказала принципиальное влияние на развитие математического анализа не только в XVIII, но и XIX веке.
4. Дифференциальное исчисление
В 1755 году Петербургская академия наук опубликовала «Дифференциальное исчисление» Л. Эйлера. По содержанию, систематичности изложения и последовательности в развитии необходимых новых понятий и алгоритмов это сочинение можно поставить на одно из самых почетных мест во всей истории математического анализа. Весьма сильное влияние оно оказало на развитие и преподавание математики в России.
В первой половине XVIII века назрела необходимость освободить основания нового исчисления от механической и геометрической трактовки их. Новое исчисление требовало подхода, свободного от аппеляции к физике, механик и геометрии. Таким походом мог быть только аналитический. «Здесь же все изложение ограничено областью чистого анализа, так что для изложения всех правил этого исчисления не понадобилось ни одного чертежа», - указывает Эйлер в заключительной фразе своего предисловия[7] .
В основе дифференциального исчисления Эйлера лежит понятие бесконечно малой величины. В этом отношении он следует первому учебнику анализа бесконечно малых Лопиталя (1696г.), написанному под большим влиянием И. Бернулли.
Разъясняя понятия бесконечно малых и бесконечно больших величин, Эйлер стремится отвести упреки относительно принебрежения в анализе «геометрической строгостью». Однако попытки логического обоснования основных начал анализа Эйлеру не удались. Существо этих попыток заключалось в построении «исчисления нулей». Прежде всего Эйлер вводит два способа сравнения нулей: арифметический и геометрический. При первом рассматривается разность нулей, при втором – их отношение.
Определяя бесконечно малые количества как чистые нули, Эйлер вынужден полемизировать с Лейбницем, считавшим, что существуют некие последние частицы, называемые «атомами», «монадами» иди «простыми сущностями»[8] .
В работе о дифференциальных уравнениях (1728г.) Эйлер рассматривает классы однородных уравнений второго порядка. К этому же времени относятся его исследования о геодезических линиях. Соответствующее дифференциальное уравнение оказалось также второго порядка. В работе о началах вариационного исчисления (1744г.) он использует дифференциалы любого порядка, а также понятие функции многих переменных.
5. Интегральное исчисление и теория обыкновенных дифференциальных уравнений
В 1768 году Петербургская академия издала первый том «Интегральное исчисление» Л. Эйлера. Второй и третий тома также в России в 1769 и 1770 годах. Широта содержания, необычайное богатство новых результатов, в подавляющем большинстве принадлежащих самому Эйлеру, проникновение в сложные вопросы теории дифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных, - все это определило значение и роль трехтомного сочинения Эйлера в истории математического анализа. Без преувеличения можно сказать, что «Интегральное исчисление» Эйлера составляет эпоху в развитии математического анализа. Этот труд оказал также влияние на дальнейшее развитие ряда математических наук.
В понятие интегрального исчисления Эйлер, как и его современники, включал не только интегрирование функций, но и интегрирование дифференциальных уравнений, обыкновенных и в частных производных.
В связи с этим три тома «Интегрального исчисления» содержат такие разделы: интегрирование функций, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, интегрирование дифференциальных уравнений второго и высшего порядков, интегрирование уравнений с частными производными.
В 1794 г. уже после смерти Эйлера Петербургская академия наук издала четвертый том «Интегрального исчисления», содержащий дополнения, главным образом, к первым двум томам. В Собрании сочинений Л. Эйлера материал четвертого тома распределен по соответствующим томам первой серии этого издания.
В своем издании Эйлер указывает: «Интегральное исчисление должно быть распространено на разыскание функций двух или большего числа переменных, когда задано какое-нибудь соотношение между дифференциалами»[9] . Он отмечает, что нахождение функции двух и большего числа переменных по заданному соотношению между их дифференциалами еще нигде не излагалось. Решение этой задачи принесло бы «очень большую пользу механике и особенно в учении о жидкостях». Таким образом, задача ставится в плане решения любых дифференциальных уравнений, не только обыкновенных, но и в частных производных. Далее Эйлер определяет полный и частный интегралы. Понятиями полного и частного интегралов обыкновенных дифференциальных уравнений он владел еще в 1738 году, а в своих печатных работах ввел их впервые в 1743 году.
Рассматривая основные направления развития теории обыкновенных дифференциальных уравнений в XVIII века, появляются первые задачи динамики точки при их аналитической трактовке, которые потребовали методов интегрирования нелинейных уравнений второго порядка и их систем.
Назревала также потребность в развитии теории линейных уравнений. Это объясняется тем, что в начале XVIII века приобретала все более серьезное значение теории малых колебаний материальных систем с конечным числом степенной свободы. В связи с конструированием достаточного точных маятниковых часов, необходимых для астрономических наблюдений, а также с первыми гравиметрическими проблемами возникла необходимость в построении аналитической теории математического и физического маятников, являющейся развитием результатов Гюйгенса (конец XVIII в.).
Другое направление теории обыкновенных дифференциальных уравнений – численные методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений – было обусловлено в значительной степени требованиями небесной механики.
Одним из направлений в развитии теории обыкновенных дифференциальных уравнений было также изучение особых решений. Оно определялось задачами геометрического содержания, в частности задачами быстро развивавшейся дифференциальной геометрии. Главнейшими задачами из них были задачи о нахождении огибающих и изогональных траекторий семейств кривых (позже – семейств поверхностей). В XVIII веке направление, связанное с изучением семейств плоских кривых, в частности семейств интегральных линий, было наименее значительным. Однако уже в начале второй четверти XIX века тесно связанная с теорией особых решений проблема единственности решения задач с начальными условиями, а вместе с ней и общая проблема существования решений приобрели в теории обыкновенных дифференциальных уравнений первостепенное значение.
Уровень накопленных к началу XVIII веку знаний о свойствах и способах решений обыкновенных дифференциальных уравнений был совершенно недостаточен для изучения новых сложных задач. Поэтому не удивительно, что уже с начала второй четверти XVIII века наблюдалось значительное повышение интереса к этой области анализа. В первом же томе «Комментариев» Петербургской академии за 1726 год были помещены исследования по дифференциальным уравнениям Я. Германа. Х. Гольдбаха, И. Бернулли и его сыновей Николая и Даниила. Весьма значительное развитие в XVIII веке теория дифференциальных уравнений получила в трудах Эйлера, братьев Бернулли, Даламбера, Лагранжа, Лапласа.
Естественно, что достижения Эйлера, первые в огромной новой области анализа, не могли быть достаточно общими и завершенными. Теорию уравнений в частных производных развил дальше Ж. Лагранж. Анализ его исследований показывает преемственность эйлеровых результатов. Начало нового периода в развитии теории уравнений в частных производных не только первого, но и высшего порядков связано с работами Г. Монжа. Этот период характеризуется существенным проникновением в теорию дифференциальных уравнений в частных производных новых геометрических идей. Дальнейшее развитие геометрическая теория уравнений в частных производных получила в трудах геометров XIX века. История теории дифференциальных уравнений в частных производных второго и высших порядков представляет собой в значительной степени историю теории дифференциальных уравнений математической физики.
Список используемой литературы
1. История отечественной математики в четырех томах. Том 1.
Академия наук СССР
[1] Д. Бернулли. Гидродинамика или записки о силах и движениях жидкостей. Пер. с лат. Изд-во АН СССР, М., 1959.
[2] J.P. D’Alembert. Traite de l’equilibre et du movement des fluids. Paris, 1744