Реферат: Решение обратных задач теплопроводности для элементов конструкций простой геометрической формы

Таким образом, имеем типичную некорректную задачу, для построения устойчивого решения которой необходимо построение регуляризирующих алгоритмов.

Сохраним в решении (3) конечное число слагаемых N. Введем обозначения

(4)

Интегрируя (4) получим систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода:

, (5)

где k =1, 2, ... , N.

Соотношения для теплового потока в (3) записывается аналогично. В дальнейшем будем считать, что на поверхности X = 0 теплосъем отсутствует, то есть стенка теплоизолирована. Тогда решение (3) с учетом обозначений (4) записывается в виде

(6)

Таким образом, граничные условия при X = 1 восстанавливаются соотношением (6), в котором функции находятся из решения интегральных уравнений (5)

(7)

где правая часть задается приближенно, то есть

Здесь - числовой параметр, характеризующий погрешность правой части уравнения (7).

Задача (7) является, в общем случаи некорректно поставленной /12/. Наиболее распространенным в настоящее время эффективным регуляризующим алгоритмом для ее решения является алгоритм, основанный на минимизации функционала А.Н.Тихонова /12/.

(8)

С последующим выбором параметра регуляризации по так называемому принципу невязки.

Например, если - какая - либо экстремаль функционала (8), реализующая его глобальный минимум при заданном и фиксированном , то числовой параметр определяется из условия

(9)

Регуляризующий алгоритм (7) - (9) подробно изучен в /12/ и обладает устойчивостью к малым возмущениям правой части (7).

Правая часть уравнения (7) при решении формировалась следующим образом. Функция характеризующая изменение температуры поверхности, задавалась таблицей. Начальные условия для 1, 2, … , N-1) находились из соотношения /3/:

(10)

где , - распределение температуры, заданное в начальный момент времени. Откуда для равномерного распределения температуры в начальный момент времени имеет

1, 2, … , N-1 (11)

Из анализа теплофизических и геометрических характеристик конструкции камеры сгорания следует возможность представления системы пластин теплового отношения (рис.1) в виде пластины из теплозащитного покрытия и оболочки, которую можно рассматривать как тепловую емкость. Это дает возможность воспользоваться для построения решения обратной тепловой задачи для заданного узла решением задачи Коши (3). В системе координат, представленной на Рис.1, поверхность при X = 0 будем считать теплоизолированной, то есть

(12)

Кроме этого предположим, система пластин в начальный момент времени прогрета равномерно и, следовательно, начальные условия для функции имеют вид (11).

При сделанных выше предположениях условия Коши (12) для этой задачи имеют вид

(13)