Реферат: Роль систем счисления в истории компьютеров

где a _i = {0, 1} - двоичная цифра i-го разряда представления; n - разрядность представления; F(i) - число Фибоначчи, задаваемое с помощью следующего рекуррентного соотношения:

F(i) = F(i-1) + F(i-2);

F(1) + F(2) = 1;

Однако наиболее революционным предложением в современной теории систем счисления по праву можно считать систему счисления с иррациональным основанием, предложенную в 1957 г. американским математиком Джорджем Бергманом. Под "Тау-системой", или системой Бергмана, понимается следующий способ представления действительного числа А:

где a_i - двоичные цифры, 0 или 1; i = 0, +1, +2, +3; τ ⁱ - вес i-й цифры в представлении; τ - основание системы счисления.

На первый взгляд может показаться, что в система Бергмана не представляет собой ничего особенного по сравнению с традиционным позиционным представлением, но это только на первый взгляд. Вся суть состоит именно в том, что основанием системы счисления является знаменитое иррациональное число

, которое является корнем следующего алгебраического уравнения:

x² = x + 1

Будучи корнем указанного алгебраического уравнения, "золотая пропорция" обладает следующим математическим свойством:

τⁿ = τ^n-1 + τ^n-2 ,

где n принимает значения из следующего множества: 0, +1, +2, +3 ...

Именно в этом обстоятельстве (иррациональное основание τ) кроется причина ряда "экзотических" свойств "системы Бергмана" (более подробно о ней можно узнать на Web-сайте "Музей Гармонии и Золотого Сечения", ( http://www.goldenmuseum.zibys.com/ ).

Существенно подчеркнуть, что "Тау-система" переворачивает наши традиционные представления о системах счисления, более того - традиционное соотношение между числами рациональными и иррациональными. В "Тау-системе" основанием, то есть началом счисления, является некоторое иррациональное отношение τ, с помощью которого, используя систему (2) можно представить все другие числа, включая натуральные, дробные и иррациональные.

Идеи Цекендорфа и Бергмана получили дальнейшее развитие в работах автора настоящей статьи. В книге "Введение в алгоритмическую теорию измерения" (1977 г.) представление Фибоначчи-Цекендорфа было обобщено с помощью понятия р-кода Фибоначчи, основанного на р-числах Фибоначчи, и разработана арифметика Фибоначчи для таких представлений.

Под р-кодом Фибоначчи понимается следующий способ представления натурального числа N:

N = a_n F_p (n) + a_n-1 F_p (n-1) + ... + a_i F_p (i) + ... + a₁ F_p (1), (3)

где a_i = {0, 1} - двоичная цифра i-го разряда представления; n - разрядность представления; F_p (i) - р-число Фибоначчи, задаваемое с помощью следующей рекуррентной формулы:

F_p (i) = F_p (i-1) + F_p (i-p-1); (4)

F_p (1) = F_p (2) = ... = F_p (p+1) = 1, (5)

где р - целое неотрицательное число, принимающее значение из множества {0, 1, 2, 3 ...}.

Заметим, что понятие "р-кода Фибоначчи" включает в себя бесконечное число представлений, так как каждому р соответствует свое представление; при этом для случая р = 0 р-код Фибоначчи вырождается в классическое двоичное представление, а для случая р = 1 - в представление Фибоначчи-Цекендорфа. При р = x любое р-число Фибоначчи равно 1, а это означает, что р-код Фибоначчи сводится к так называемому "унитарному коду":

N = 1 + 1 + : + 1;

А это, в свою очередь, означает, что р-коды Фибоначчи как бы заполняют пробел между классической двоичной системой счисления и унитарным кодом, включая их в качестве частных крайних случаев.

В книге "Коды золотой пропорции" (1984 г.) с использованием так называемых обобщенных золотых пропорций была обобщена система счисления Бергмана. Такие способы представления чисел были названы кодами золотой пропорции.

Под кодами золотой пропорции понимаются следующие способы представления действительного числа А:

где a_i - двоичные цифры, 0 или 1; i = 0, +1, +2, +3 ...; τ_p ⁱ - вес i-й цифры в представлении; τ_p - "золотая р-пропорция", являющаяся действительным корнем следующего алгебраического уравнения:

τ^p+1 =τ^p + 1,

где целое число р принимает значение из множества {0, 1, 2, 3 ...}.

Заметим, что при р = 0 уравнение золотой р-пропорции вырождается в тривиальное уравнение x = 2, и при этом tp = 2; при р = 1 оно вырождается в уравнение для классической золотой пропорции и корень τ_p совпадает с классической золотой пропорцией.