Реферат: Шпаргалки на экзамен в ВУЗе (1 семестр, математика)

Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.Как было рассмотрено выше, плоскость в векторной форме может быть задана уравнением:+ D = 0, где- нормаль плоскости; - радиус- вектор произвольной точки плоскости.Пусть в пространстве заданы две плоскости: + D₁ = 0 и + D₂ = 0, векторы нормали имеют координаты: (A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂); (x, y, z).Тогда общие уравнения прямой в векторной форме:Общие уравнения прямой в координатной форме:Практическая задача часто состоит в приведении уравнений прямых в общем виде к каноническому виду.Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.Пример. Найти каноническое уравнение, если прямая задана в виде:Для нахождения произвольной точки прямой, примем ее координату х = 0, а затем подставим это значение в заданную систему уравнений., т.е. А(0, 2, 1).Находим компоненты направляющего вектора прямой.Тогда канонические уравнения прямой:Пример. Привести к каноническому виду уравнение прямой, заданное в виде:Для нахождения произвольной точки прямой, являющейся линией пересечения указанных выше плоскостей, примем z = 0. Тогда:;2x – 9x – 7 = 0; x = -1; y = 3; Получаем: A(-1; 3; 0).Направляющий вектор прямой: .Итого:

17)Взаимное расположение двух плоскостей характеризуется двумя возможностями.1). Две плоскости не имеют общих точек, и , в таком случае, они называются параллельными (на рис. 28 ||).

Две плоскости имеют хотя бы одну общую точку, и в таком случае они называются пересекающимися. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат обе общие точки этих плоскостей (аксиома). Таким образом, две плоскости пересекаются по прямой (на рис. 28 и пересекаются по прямой a, a и - по прямой b).

Пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла. Если один из них прямой, тогда и остальные углы тоже прямые, а плоскости называются перпендикулярными. В качестве параллельных плоскостей на каждом шагу встречаем параллельные грани одного дома. Плоскости стен домов перпендикулярны плоскости земли.

18) Взаимное расположение двух прямых на плоскости.Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

• C = 0, А  0, В  0 – прямая проходит через начало координат

• А = 0, В  0, С  0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

• В = 0, А  0, С  0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

• В = С = 0, А  0 – прямая совпадает с осью Оу

• А = С = 0, В  0 – прямая совпадает с осью Ох

Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Взаимное расположение двух прямых и пространстве характеризуется следующими тремя возможностями.1)Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек - параллельные прямые. 2)Прямые лежат и одной плоскости и имеют одну общую точку - прямые пересекаются. 3)В пространстве две прямые могут быть расположены еще так, что не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (не пересекаются и не параллельны). Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость и точке, которая не лежит на первой прямой, то эти прямые скрещиваются. На рис. 26 прямая a лежит в плоскости, а прямая с пересекает в точке N. Прямые a и с - скрещивающиеся.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит только одна плоскость, параллельная другой прямой.

На рис. 26 прямые a и b скрещиваются. Черен прямую а проведена плоскость || b (в плоскости указана прямая a₁ || b).

Примеры скрещивающихся прямых: трамвайный рельс и троллейбусный провод по пересекающейся улице, нeпересекающиеся и непараллельные ребра пирамид или призм и пр. Все три случая можно видеть еще на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок или стены и пол комнаты.

2)Матрицы,действия над матрицами.Привести пример.Определение. Матрицей размера mn, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы.Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца. А = Основные действия над матрицами.Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.Определение. Матрица вида:= E,называется единичной матрицей.Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.Пример.- симметрическая матрицаОпределение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей. Сложение и вычитание матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Самым главным свойством этих операций является то, что они определены только для матриц одинакового размера. Таким образом, возможно определить операции сложения и вычитания матриц:Определение.Суммой (разностью) матриц является матрица, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц.c_ij = a_ij  b_ij С = А + В = В + А. Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. (А+В) =А  В А() = А  АПример. Даны матрицы А = ; B = , найти 2А + В.2А = , 2А + В = .

20)Взаимное расположение прямой и плоскости. Для выяснения взаимного расположения прямой (x=b1t+x0; y=b2t+y0; z=b3t+z0) b(b1, b2, b3)-направляющий вектор прямой Ax+By+Cz+D=0 Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, надо решить сист Ур-ий A(b1t+x0)+B(b2t+y0)+C(b3t+z0)+D=0; Ab1t+Ax0+Bb2t+By0+Cb3t+Cz0+D=0; (Ab1+Bb2+Cb3)t=-(Ax0+By0+Cz0+D).

1Случай: Ab1+Bb2+Cb3=0, определяет единственное решение, т.к. получаем конкретное значение параметра t, подставив которое в исходное Ур-е прямой получаем точки пересеч с данной плоскостью

2Случай: Пусть выражение Ab1+Bb2+Cb3=0, Ax0+By0+Cz0+D=0, т.к. левая часть не может быть равна правой, это говорит о том что прямая параллельна плоскости.

3Случай: Пусть Ab1+Bb2+Cb3=0, Ax0+By0+Cz0+D=0, Ур-ям удовлетворяют любые знач t след прямая лежит в плоскости.