Реферат: Сравнение эффективности методов сортировки массивов: Метод прямого выбора и метод сортировки с помощью дерева
Mmax = n2 /4 +3(n-1)
если первоначально ключи располагались в обратном порядке. Для того чтобы определить Mavg, мы должны рассуждать так. Алгоритм просматривает массив, сравнивая каждый элемент с только что обнаруженной минимальной величиной; если он меньше первого, то выполняется некоторое присваивание. Вероятность, что второй элемент окажется меньше первого, равна 1/2, с этой же вероятностью происходят присваивания минимуму. Вероятность, что третий элемент окажется меньше первых двух, равна 1/3, а вероятность для четвертого оказаться наименьшим — 1/4 и т. д. Поэтому полное ожидаемое число пересылок равно Нn—1, где Нn — n-е гармоническое число:
Нn=1+1/2+1/3+ ... +1/nНп можно выразить и так: Нп = In n+g+ 1/2n — 1/12n2 + ...
где g= 0.577216 ... — константа Эйлера. Для достаточно больших n мы можем игнорировать дробные составляющие и поэтому аппроксимировать среднее число присваиваний на i-м просмотре выражением
Fi -ln i+g+l
Среднее число пересылок Mavg в сортировке с выбором есть сумма Fi с i от 1 до n:
Mavg =n*(g+l)+(Si : 1<i
Вновь аппроксимируя эту сумму дискретных членов интегралом Integral (1: п) ln x dx == x * (ln x— 1) == n * ln (п)— n + I
получаем, наконец, приблизительное значение Mavg = n(ln (n) + g)
Отсюда можно сделать заключение, что, как правило, алгоритм с прямым выбором предпочтительнее строгого включения. Однако, если ключи в начале упорядочены или почти упорядочены, прямое включение будет оставаться несколько более быстрым.
2.3.2. Сортировка с помощью дерева
Метод сортировки с помощью прямого выбора основан на повторяющихся поисках наименьшего ключа среди n элементов, среди оставшихся n —1 элементов и т. д. Обнаружение наименьшего среди п элементов требует—это очевидно — n — 1 сравнения, среди n — 1 уже нужно n — 2 сравнений и т. д. Сумма первых n — 1 целых равна 1/2*(n2 — n). Как же в таком случае можно усовершенствовать упомянутый метод сортировки? Этого можно добиться, только оставляя после каждого прохода больше информации, чем просто идентификация единственного минимального элемента. Например, сделав n/2 сравнений, можно определить в каждой паре ключей меньший. С помощью n/4 сравнений — меньший из пары уже выбранных меньших и т. д. Проделав n — 1 сравнений, мы можем построить дерево выбора вроде представленного на рис. 2,3 и идентифицировать его корень как нужный нам наименьший ключ [2.21.
Второй этап сортировки — спуск вдоль пути, отмеченного наименьшим элементом, и исключение его из дерева путем замены либо на пустой элемент (дырку) в самом низу, либо на элемент из соседней ветви в промежуточных вершинах (см. рис. 2.4 и 2.5). Элемент, передвинувшийся в корень дерева, вновь будет наименьшим (теперь уже вторым) ключом, и его можно исключить. После п таких шагов дерево станет пустым (т. е. в нем останутся только дырки), и процесс сортировки заканчивается. Обратите внимание — на каждом из n шагов выбора требуется только log n сравнений. Поэтому на весь процесс понадобится порядка n*log n элементарных операций плюс еще n шагов на построение дерева. Это весьма существенное улучшение не только прямого метода, требующего п2 шагов, но и даже метода Шелла, где нужно п^1.2 шага. Естественно, сохранение дополнительной информации делает задачу более изощренной, поэтому в сортировке по дереву каждый отдельный шаг усложняется. Ведь в конце концов для сохранения избыточной информации, получаемой при начальном проходе, создается некоторая древообразная структура. Наша следующая задача — найти приемы эффективной организации этой информации.
Конечно, хотелось бы, в частности, избавиться от дырок, которыми в конечном итоге будет заполнено все дерево и которые порождают много ненужных сравнений. Кроме того, надо было бы поискать такое представление дерева из п элементов, которое требует лишь п единиц памяти, а не 2n—1, как это было раньше. Этих целей действительно удалось добиться в методе Heapsort 1 *) изобретенном Д. Уилльямсом (2.14), где было получено, очевидно, существенное улучшение традиционных сортировок с помощью деревьев. Пирамида определяется как последовательность ключей hi ., hL+1 , .. , hr , такая, что
Если любое двоичное дерево рассматривать как массив по схеме на рис. 2.6, то можно говорить, что деревья сортировок на рис. 2.7 и 2.8 суть пирамиды, а элемент h1, в частности, их наименьший элемент: hi==min(hi, h2, ..., hn). Предположим, есть некоторая пирамида с заданными элементами hL+1 , ..., hR для некоторых значений L и R и нужно добавить новый элемент х, образуя расширенную пирамиду hi ., .. . ..., li R. Возьмем, например, в качестве исходной пирамиду hi, ..., hr, показанную на рис. 2.7, и добавим к ней слева элемент h1 ==44 2 Новая пирамида получается так: сначала х ставится наверх древовидной структуры, а затем он постепенно опускается вниз каждый раз по направлению наименьшего из двух примыкающих к нему элементов, а сам этот элемент передвигается вверх. В приведенном примере значение 44 сначала меняется местами с 06, затем с 12 ц в результате образуется дерево, представленное на рис. 2.8. Теперь мы сформулируем этот сдвигающий алгоритм так: i, j — пара индексов, фиксирующих элементы, меняющиеся на каждом шаге местами. Читателю остается лишь убедиться самому, что предложенный метод сдвигов действительно сохраняет неизменным условия (2.13), определяющие пирамиду.
Р. Флойдом был предложен некий «лаконичный» способ построения пирамиды «на том же месте». Его процедура сдвига представлена как прогр. 2.7. Здесь hi . .. hn — некий массив, причем Ьщ ...hn (пп = ==(nDIV2)+1) уже образуют пирамиду, поскольку индексов i, j, удовлетворяющих отношениям j = 2i (или j = 2i+1), просто не существует. Эти элементы образуют как бы нижний слой соответствующего двоичного дерева (см. рис. 2.6), для них никакой
PROCEDURE sift(L, R; index);
VAR i, j: index; x: item;
BEGIN i : = L; J:= 2*L; x := a[L];
IF (j < R) & (a[J+l] < a[j] THEN j:=j+l END;
WHILE (j < =R)&(a[j]
a[i]:= a[j]: i:=j; i := 2*j;
IF(j<R)&(a[j+1]
END
END sift
Прогр. 2.7. Sift.
упорядоченности не требуется. Теперь пирамида расширяется влево; каждый раз добавляется и сдвигами ставится в надлежащую позицию новый элемент. Табл. 2.6 иллюстрирует весь этот процесс, а получающаяся пирамида показана на рис. 2.6.
Следовательно, процесс формирования пирамиды из п элементов hi ... hn на том же самом месте описывается так:
L :== (n DIV 2) + 1;