Реферат: Три знаменитые классические задачи древности

Рис. 3, а, б, в: конхоида Никомеда

Задача о трисекции угла становится разрешимой и общем случае, если не ограничиваться в геометрических построениях одними только классическими инструментами, циркулем и линейкой. Попытки решения задачи с помощью инструментов и средств были предприняты еще в V в. до н.э. Так, например, Гиппий Элидский, знаменитый софист, живший около 420 г. до н.э., пользовался для трисекции угла квадратрисой. Александрийский математик Никомед ( II в. до н.э.) решил задачу о трисекции угла с помощью одной кривой, названной конхоидой Никомеда (рис. 3), и дал описание прибора для черчения этой кривой.

Рис. 4 Рис. 5

Интересное решение задачи о трисекции угла дал Архимед в своей книге «Леммы», в которой доказывается , что если продолжить хорду (рис.4) окружности радиуса r на отрезок = r и провести через С диаметр , то дуга BF будет втрое меньше дуги АЕ . Действительно на основе теорем о внешнем угле треугольника и о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника имеем:

,

,

значит,

Отсюда следует так называемый способ «вставки» для деления на три равные части угла AOE . Описав окружность с центром O и радиусом и , проводим диаметр . Линейку CB на которой нанесена длина радиуса r (например, помощью двух штрихов), прикладываем и двигаем так, чтобы её точка C скользила по продолжению диаметра, а сома линейка всё время проходила бы через точку A окружности, пока точка B линейки не окажется на окружности. Тогда угол BCF и будет искомой третьей частью угла AOE (Рис.5). Как видно, в этом приёме используется вставка отрезка CB между продолжением диаметра EF и окружностью так, чтобы продолжение отрезка CB прошло через заданную точку A окружности. В указанном выше построении применяется, помимо циркуля, не просто линейка как инструмент для проведения прямых, а линейки с делениями, которая даёт длину определённого отрезка.

Вот ещё одно решение задачи о три секции угла при помощи линейки с двумя насечками предложенное Кемпе:

Пусть дан какой – либо угол ABC (Рис. 6); и пусть на лезвии нашей линейки обозначены 2 точки, P и Q (см. ту же фигуру, внизу)

Построение

На одной из сторон угла откладываем от вершины B прямую BA = PQ . Делим ВА пополам в точке М ; проводим линии Рис. 6 и .

Возьмём теперь нашу линейку и приспособим её к уже полученной фигуре так, чтобы точка Р

линейки лежала на прямой КМ , точка Q лежала бы

на прямой LM , и в тоже время продолжение PQ линейки проходило бы через вершину данного угла В . тогда прямая ВР и есть искомая, отсекающая третью часть угла В .

Доказательство

как накрест лежащие. Разделим PQ пополам и середину N соединим с М прямой NM . Точка N есть середина гипотенузы прямоугольного треугольника PQM , а потому PN = N М , а следовательно, треугольник PNM равнобедренный, и значит

Внешний же

Вместе с тем .

Значит,

Итак:

(Ч.Т.Д.).

Приведённое выше решение задачи принадлежит Кемпле, который при этом поднял вопрос, почему Евклид не воспользовался делением линейки и процессом её приспособления для доказательства 4-й теоремы своей первой книги, где вместо этого он накладывает стороны одного треугольника на стороны другого. На это может ответить только, что в задачу Евклида и не входило отыскивание некоторой точки по средствам измерения и процесса приспособления линейки. В своих рассуждениях и доказательствах он просто накладывает фигуру на фигуру – и только.

Задача об удвоении куба

Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов.

Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять уравнению

x ³ = 2a³ , илиx =

Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а ² , служит отрезок длиной а , т.е. диагональ данного квадрата со стороной а . Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а ³ , т.е. отрезок х , равный , не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в.

Задача об удвоении куба носит так же название «делосской задачи» в связи со следующей легендой.

На острове Делос (в Эгейском море) распространялась эпидемия чумы. Когда жители острова обратились к оракулу за советом, как избавится от чумы, они получили ответ: «Удвойте жертвенник храма Аполлона». Сначала они считали, что задача легка. Так как жертвенник имел форму куба, они построили новый жертвенник, ребро которого было в два раза больше ребра старого жертвенника. Делосцы не знали, что таким образом они увеличили объём куба не в 2 раза, а в 8 раз. Чума ещё больше усилилась, и в ответ на вторичное обращение к оракулу последний посоветовал: «Получше изучайте геометрию…» Согласно другой легенде, бог приписал удвоение жертвенникам не потому, что ему нужен вдвое больший жертвенник, а потому, что хотел упрекнуть греков, «которые не думают о математике и не дорожат геометрией».

Задачей удвоения куба еще в V в. до н.э. занимался Гиппократ Хиосский, который впервые свел ее к решению следующей задачи: построить «два средних пропорциональных» отрезка х , у между данными отрезками а, b , т.е. найти х и у , которые удовлетворяли в следующей непрерывной пропорции:

а : х = х : у = у : b (1)