Реферат: Удивительные числа

Небольшую "коллекцию" простых чисел можно составить старинным способом, придуманный ещё в 3 в. до н. э. Эратосфеном Киренским, хранителем знаменитой Александрийской библиотеки.

Выпишем несколько подряд идущих чисел, начиная с 2. Двойку отберём в свою коллекцию, а остальные числа, кратные 2, зачеркнем. Ближайшим незачёркнутым числом будет 3. Возьмём в коллекцию и его, а все остальные числа, кратные 3, зачеркнем. При этом окажется, что некоторые числа уже были вычеркнуты раньше, как, например, 6, 12 и др. Следующее наименьшее незачёркнутое число – это 5. Берем пятерку, а остальные числа, кратные 5,зачеркиваем. Повторяя эту процедуру снова и снова, в конце концов добьемся того, что незачеркнутыми останутся одни лишь простые числа – они словно просеялись сквозь решето. Поэтому такой способ и получил название "решето Эратосфена".

Простых чисел бесконечное множество.

2.2 Числа – близнецы

Два простых числа, которые отличаются на 2, как 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19, получили название "близнецы". В натуральном ряду имеется даже "тройня" - это числа 3, 5, 7. Ну а сколько всего существует близнецов - современной науке неизвестно.

В пределах первой сотни близнецы – это следующие пары чисел: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71,73). По мере удаления от нуля близнецов становится все меньше и меньше. Близнецы могут собираться в скопления, образуя четверки, например, (5, 7, 11, 13) или (11, 13, 17, 19). Как много таких скоплений – тоже пока неизвестно.

2.3 Проблема Гольдбаха

В 1742 г. член Петербургской Академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предложение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

50 = 47 + 3, 46 = 43 + 3, 32 = 29 + 3.

Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встретил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой задачей, которая названа "проблемой Гольдбаха" и сформулирована так, требуется доказать или опровергнуть предложение:

Всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Л. Эйлер ответил Х. Гольдбаху, что он высказывает (без доказательства) еще более интересную догадку: "Всякое четное натуральное число, большее двух, представляет собой сумму двух простых чисел".

12 = 5+ 7; 64 = 59 + 5 = 41 +23 = 47 +17; 28 = 11 + 17 = 23 + 5;

162 = 157 + 5 = 151 + 11 = 139 + 23 = 131 + 31.

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разрешить проблему Гольдбаха – Эйлера, но безуспешно.

Глава 3. Фигурные числа

3.1 Фигурные числа

Давным-давно, помогая себе при счете камушками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камушков. Можно просто класть камушки в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, то получаются все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три.

Фигурные числа — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой.

Различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа — числа, не разлагающиеся на множители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей: 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …

3.2 Многоугольны е числ а

Выкладывая различные правильные многоугольники, можно получить разные классы многоугольных чисел . Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: "Возвести число в квадрат или в куб".

Последовательность треугольных чисел : 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 4 и т.д. (1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д.)