Реферат: Задачі, що приводять до поняття означеного інтеграла. Формулювання теореми існування

Приклад1. Обчислити на основі інтегральної суми.

Р о з в ’ я з о к. Розіб’ємо інтервал на рівних частинок. При цьому довжини всіх інтервалів будуть рівними між собою і дорівнюватимуть . Ординати в точках поділу обчислюватимемо на правому кінці кожного інтервалу. Вони складуть таку послідовність:

Інтегральна сума матиме вигляд

Пропонується здійснити обчислення, взявши ординати на лівому кінці кожного інтервалу.

Як видно із наведеного прикладу, безпосереднє обчислення визначеного інтеграла як границі інтегральних сум пов’язане з певними труднощами. Навіть в простих випадках, коли підінтегральна функція є дуже простою, цей спосіб вимагає громіздких підрахунків. Знаходження інтегралів від більш складніших функцій приводить до ще більших труднощів. Інтегральні суми використовували ще в древні часи при розв’язуванні певних задач, але до тих пір, поки не був відкритий метод обчислення визначеного інтеграла, його застосування було обмежене. Цей метод, відкритий Ньютоном і Лебніцем, використовує глибокий зв’язок між інтегруванням і диференціюванням.

Приклад. Обчислити інтеграл

Розв’язання. На підставі таблиці основних інтегралів і правила ІІІ, /див. Лекцію 2/ маємо