Статья: К методике преподавания прикладной математики в военно-инженерном вузе

Введем далее следующие обозначения: N - количество последовательных событий обслуживания узла (замен); T(N) - длина соответствующего временного интервала; S(N) - суммарная стоимость N событий.

Используя рис.3 и определение вероятности события, легко показать, что

	=	NP1s1+NP2s2,	(2)
	=		(3)

где - математическое ожидание случайной величины .

Из (2) и (3) получаем предварительный вид I - искомой средней интенсивности затрат на обслуживание узла:

(4)

Теперь необходимо получить явный вид . В смысле физического понимания процесса обслуживания и необходимой математической техники это наиболее сложная для курсанта промежуточная задача. Однако и для ее решения не требуется знаний, выходящих за пределы стандартного курса математики.

Выделим из реального процесса (см. рис.1) последовательность интервалов , т.е. интервалов, завершающихся отказом. Обозначим затем через плотность вероятности продолжительности безотказной работы узла при условии его отказа в интервале . Из определения математического ожидания

(5)

Выпишем условия, задающие :

	(6)
	(7)

- для любых из .

Условие (6) очевидно. Условие (7) может потребовать отдельного разъяснения: оно определяется тем, что поведение узла не зависит от того, какое подмножество реального процесса мы рассматриваем (рис.4).

Рис.4

Определяя из (6) и (7) явный вид , подставляя его в (5) и преобразуя, получаем

(8)

Мы получили явный вид - средней продолжительности безотказной работы узла при условии его отказа в интервале . Подставляя (8) в (4) и преобразуя, получаем окончательно

(9)

Очевидно, что задачу 1 можно дополнить требованием указать возможные способы определения оптимального , обеспечивающего при данных s1,s2 и минимум I . (например, из условия ) Требование получить соответствующую расчетную формулу представляется здесь чрезмерным. Однако находится достаточно эффектный и, как нам представляется, методически результативный ход, позволяющий курсанту без больших технических затруднений "поверить" в полученный результат. Для этого можно ослабить одно из ограничений задачи 1:

Задача 2.

Найти оптимальное значение , обеспечивающее минимум средней интенсивности затрат I для случая s1=s2=s0.

Решения задачи 2

Поскольку s0 - параметр задачи, а сумма интегралов числителя в (9) - тождественная единица, задача сводится к исследованию на минимум функции

(10)

Достаточно, таким образом, решить относительно уравнение

(11)

Поскольку (см. рис.2) знаменатель в (10) всегда положителен, для решения (11) достаточно знания основных правил дифференцирования и умения дифференцировать определенный интеграл по одному из его пределов. В результате (11) легко сводится к уравнению

т. е.

(12)

где - оптимальное значение .

Мы "строго доказали" известный практический рецепт: лампочки заменяют по потребности [2]. Эта рекомендация, конечно, не нуждается в математическом обосновании - мы проверили здесь справедливость (9) в тривиальном случае s1=s2. Заметим, что из элементарных соображений можно легко получить и левую границу :

(13)

Пример: при фиксированном s1 и монотонно возрастающем s2 цена последствий отказа рано или поздно становится неприемлемой ( на практике при s2>>s1 принимается , а узел резервируется). Таким образом, (12) и (13) формализуют два крайних, но чрезвычайно распространенных варианта исследуемой стратегии обслуживания : "ждать до отказа" ( и "исключить отказ" .

На последнем этапе курсовой работы полезно обсудить ее возможное развитие в реальную задачу обслуживания. Так, например, исходные данные необходимо по меньшей мере дополнить следующими: t1 - время плановой замены узла машины; t1 - время замены узла машины в случае отказа; s3 - стоимость единицы времени, в течение которого машина неисправна, т.е. не участвует в выполнении некоторой внешней задачи - например, перевозке грузов.

Список литературы

Бабичева И.В. Курсовая работа по математике в военно-инженерном вузе как средство обеспечения государственных образовательных стандартов: Материалы научно-практической конференции "Естественные науки в военном деле". Омск: ОТИИ, 1999.

Методика использования статистических данных о надежности машин / Академия бронетанковых войск. М., 1975.