Статья: Комбинаторные условия фасетности опорных неравенств

По условию теоремы, rank D(c,E~) = E~ = n+1. Следовательно, ранг расширенной матрицы системы (6) равен рангу основной. Значит, система (6), а вместе с ней и система (2), совместны. При этом решение системы (2) нетривиально, ибо в противном случае b = o.

Остается показать, что   0. Так как cTx  c0 опорно к P(H), то существуют такие x1,x2H, что cTx1 = c0 и cTx2c0. Тогда, в силу (1), bTx1 = b0 и bTx2  b0. Отсюда

0  bT(x1-x2) = (cT +TAT)(x1-x2) = (cTx1-cTx2) + T - T

Так как cTx1cTx2, то   0. Отметим, что в общем случае приводимая здесь техника является достаточно громоздкой. Однако конкретизация семейства H, аффинной оболочки соответствующего многогранника и самого опорного неравенства позволяет получать конструктивные результаты. Так, например, в [2] посредством данной техники описаны три класса ранговых неравенств, индуцирующих фасеты многогранника связных k-факторов полного графа.

Список литературы

Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: В 2 т. М.: Мир, 1991.

Симанчев Р.Ю. О ранговых неравенствах, порождающих фасеты многогранника связных k-факторов // Дискретный анализ и исследование операций. 1996. Т.3. N 3. С.84-110.

Grotschel M., Holland O. Solution of large-scale symmetric travelling salesman problems // Mathematical Programming. 1991. N 51. P. 141-202.