Статья: Математическое моделирование волнового движения воды в узком глубоком непризматическом водохранилище с учетом упругости воды

Считая, что движение воды безвихревое, т.е. rot = 0, и вводя потенциал средней по ширине скорости

, (12)

из выражения (10) получаем интеграл Коши в линейном приближении:

. (13)

Компоненты средней скорости через потенциал скорости F(x, z, t) выражаются так:

, . (14)

В связи с тем, что потенциал скорости волнового движения жидкости определяется с точностью до произвольной функции, зависящей только от времени t, произвольную функцию f(t) можно считать тождественно равной нулю. На свободной волновой поверхности должно быть задано гидродинамическое давление . При отсутствии внешнего давления .

Обозначив уравнения волновой поверхности через z = h(x, t), выражение (13) запишется так:

. (15)

Линеаризуя выражение (15), получаем:

. (16)

В линейном приближении очевидно равенство:

. (17)

Дифференцируя выражение (16) по t и подставляя в него (17), получаем:

. (18)

Из выражения (13) при f(t) = 0 для давления получается следующая его зависимость от потенциала скорости:

. (19)

Подставив выражения (14) и (19) в (11), получим следующее дифференциальное уравнение для потенциала скорости:

. (20)

Как известно, в классической теории двумерного волнового движения упругой жидкости, для потенциала скорости имеется следующее уравнение [1,3]:

. (21)

Сравнивая уравнения (20) и (21), легко заметить, что в полученном в данной работе уравнении дополнительно содержатся три слагаемых. Последние две слагаемые в левой части учитывают непризматическое очертание водохранилища как в плане, так и по глубине. Величина q(x, z, t) представляет интенсивность вытеснения воды обвально-оползневым массивом либо интенсивность вторжения селелавинообразного потока в водохранилище.

Отметим, что в статье [4] получено дифференциальное уравнение для потенциала волнового движения несжимаемой жидкости в непризматическом водохранилище. В данной работе теория представляется более общей в связи с тем, что в ней учтена упругость воды, т.е. первое слагаемое уравнения(20).

Список литературы

1. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947.

2. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959.

3. Сретенский Л. Н. Теория волновых движений жидкости. М.: Наука, 1977.

4. Музаев И. Д., Созанов В. Г. К теории поверхностных гравитационных волн Коши – Пуассона в узких глубоких непризматических водоемах// Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Сер. ест. науки. Ростов-на Дону. 1995. № 3.