Статья: Математика и мифология о «Чужом»

Помните сказку для младших научных сотрудников «Понедельник начинается в субботу», написанную А. и Б. Стругацкими? Там в одном из фрагментов волшебник Мерлин, перенесенный волей авторов из средневековой Англии в наше время, рассказывает о своем путешествии по окрестным совхозам с председателем горисполкома и поминутно сбивается, называя его королем Артуром.

А портреты вождей пролетариата в чукотских чумах, на которых привычные нашему глазу лица приобретали черты, свойственные людям народов Севера? Эти забавные ситуации — проявление так называемого феномена Чужого, превратившегося, по словам Ш.М. Шукурова, в XX веке «в одну из наиболее интенсивно обсуждаемых проблем гуманитарной мысли»* .

Действительно, что такое «свое» и что такое «чужое»? Как мы отличаем одно от другого, как превращаем непривычное, незнакомое в близкое и понятное? Эти вопросы важны для каждого человека — от ребенка, познающего мир, до политика, пытающегося найти общий язык с народами и правителями других стран. Попытки разобраться в этих вопросах делаются и психологами, и философами, и историками, и даже математиками.

Представьте себя на месте автора книги, в которой описывается путешествие героя в неведомые страны. Вам предстоит придумать нечто совершенно не похожее на наш мир. Как это сделать?

Можно, например, придумать замысловатые названия тем вещам и явлениям, которыми наполнен «тот» мир, — тогда он точно не будет похож на наш. Но если эти названия не будут растолкованы, если не вызовут никаких ассоциаций у читателя — то, скорее всего, такая книга никогда и не будет прочитана. Нужно что-то хотя и составленное из привычных слов, но вызывающее яркое впечатление необычного, невозможного в мире «нашем».

Итак — парадокс: из набора привычных понятий возникает новое, непривычное. Однако наш опыт свидетельствует о том, что это противоречие преодолимо — ведь мифы, сказки, фантастические романы реально существуют и пользуются неизменной популярностью, и в них именно за обычными словами и понятиями возникает мифическая, сказочная, фантастическая реальность.

Рассуждения о математической природе «своего» и «чужого» помогают при решении ряда практических проблем, например — задачи узнавания цифр по их изображениям в условиях сильных помех. Основой метода ее решения является представление о форме изображения знака как о наборе изображений базисных фрагментов, составляющих любое изображение заданного знака. Изображение тем больше похоже на заданный знак, чем точнее оно приближается линейной комбинацией базисных фрагментов знака. Алгоритм успешно работает даже в ситуации, изображенной на рисунке: безошибочно узнавая в левом рисунке изображение единицы, в среднем — семерки, а в правом — изображение нуля:

Попробуем разобраться в этом процессе, используя простую математическую модель. Ее можно громко назвать Моделью Познания Неведомого, которая описывает процесс построения понятий «мира Чужого» из понятий «мира Своего». Оказывается, многое из того, что нам понадобится, уже придумано в математике — вот уже примерно полвека существует ее раздел под названием «распознавание образов». В нем дано формальное описание понятий «свой-чужой», его мы и положим в основу наших рассуждений.

Методы распознавания образов позволяют в разнообразной информации узнавать и выделять тот или иной «свой» объект. Для успешного решения задачи сформулируем ее на математическом языке, то есть формально определим, что такое «свое» и чем оно отличается от «чужого», и зададим критерий, определяющий качество решения. После этого останется лишь решить техническую задачу выбора наилучшего решения, либо убедиться, что такового не существует, и тогда переформулировать задачу.

«Кирпичиками», из которых складывается математическая модель, являются знакомые нам понятия, обычаи, предметы и т. п. Примем как аксиому, что любое явление «мира сего» можно представить как простую, или, как говорят математики, линейную, комбинацию из заданного набора известных понятий.

Теперь надо определить, что такое «мир иной». В нашей модели он понимается как все то, что невозможно представить как линейную комбинацию привычных понятий. Чтобы отличить «чужого» от «своего», надо записать анализируемое понятие линейной комбинацией «своих», и если это удастся — то следует признать это понятие «своим». Этот принцип, доведенный до математического решающего правила и алгоритма, позволяет создавать устройства, «узнающие своего» существенно лучше человека, — см. врезку в конце статьи.

Приведем пример. Рассмотрим два вектора в пространстве — две стрелочки, выходящие из общей точки. По законам геометрии, они лежат в одной плоскости. Их линейная комбинация (то есть векторная сумма) обязательно лежит в той же плоскости. Вывести из этой плоскости может лишь результат такой их композиции, основанной на более сложных операциях с векторами. Эти операции должны внести в результат некую новую информацию, не содержащуюся в исходных векторах, — в частности, информацию о существовании направлений, выводящих из плоскости.

Подведем итог и сформулируем особенности рассмотренной выше математической модели в форме двух предложений: для построения новых понятий на основе привычных необходимо, во-первых, признать существование «мира Чужого» — мира, не укладывающегося в плоскость привычных понятий; а во-вторых, при объединении понятий нужно иметь в запасе нечто, позволяющее подняться над этой плоскостью.

Если рассматриваемое явление можно представить как линейную комбинацию привычных представлений (а такие операции в математике полностью формализованы), то оно находится в «нашем» мире. Например, такие привычные понятия, как «сухие листья чайного куста (заварка)», и «кипяток» в нужной пропорции дают «чай» — не менее понятную вещь, мы не вышли из плоскости привычных «базисных» понятий. В случае же, когда он содержит еще какие-либо вкусовые добавки (сахар, экстракты фруктов или ягод и т. п.), перед нами нечто новое — «непривычное», «чужое». И сделать его объектом «нашего» мира можно, лишь расширив набор базисных понятий. Если вы всегда пьете чай без сахара, и не знаете, что можно по-другому, то для вас все ожидаемые ситуации чаепитий описываются как сочетание заварки и кипятка, геометрически изображающихся плоскостью, проходящей через вектор «кипяток» и вектор «заварка». Если же вам принесут чай с сахаром, то ситуация не может быть описана в прежних терминах — такой вкус вы не получите никакой комбинацией кипятка и заварки, вектор этой ситуации «торчит» из плоскости привычных понятий и не исчерпывается ими.

Первое предложение достаточно понятно. Если мы не подозреваем об иных измерениях, а все события стараемся толковать только в терминах понятий мира «Нашего», то в результате, не видя всей ситуации в целом, остаемся «слишком плоскими» и попадаем в ситуацию с Мерлином, описанную в начале статьи, или удивляемся, почему американцы до сих пор не говорят по-русски, хотя уже столько москвичей приехали в Нью-Йорк.

Несколько сложнее со вторым предложением. По закону линейной комбинации, дракон — это всего лишь «сумма» змеи и крыльев, а кентавр — не более чем соединение лошади и человека. Более общий подход требует знания некоторых дополнительных сведений: например, того, что в Китае дракон — это повелитель пяти стихий, хранитель тайных богатств и знаний, он дышит огнем, летает в воздухе так же хорошо, как и плавает в воде, знает и тропы подземного мира. Это знание (а еще — воображение) позволят увидеть, что в этом сказочном существе заключена и тайна жизни, и дыхание океана, и блеск звезд, жар огня, наши мысли и стремления, любовь и смерть. И тогда дракон воспринимается как образ объединения всех символических стихий земли.

Такая возможность — не буквального, а образного восприятия слов — является, по-видимому,

Каждый человек несет в своем сознании модель идеальных ситуаций: идеальных взаимоотношений в семье или на работе, идеальной дружбы, идеальной любви. С математической точки зрения он имеет «базис из идеальных понятий», и все жизненные ситуации пытается сравнить с этим идеалом, выясняя, в какой степени в них содержится «идеальная составляющая». И когда в какой-либо ситуации она вдруг оказывается достаточно большой, он с удовольствием и облегчением считает: вот он, идеал, наконец-то найден! Стремясь к нему, он перестает обращать внимание на те составляющие, которые «торчат» из плоскости его идеальных представлений, и даже дорисовывает в своем воображении недостающие черты. Это так называемая ситуация «розовых очков», когда наше внимание сконцентрировано на чем-то радующем нас и не воспринимает ничего другого. Но проходит время, и мы вдруг начинаем спотыкаться о «части» нашей ситуации, чуждые идеалу, не замечаемые прежде. Они вдруг вырастают в нашем сознании, затмевая все то, что привлекало нас в ней. Ничего не изменилось, мы лишь сменили очки — розовые на черные, и в этом состоянии для нас гораздо важнее стало то, что отличает ситуацию от идеала. Подчиняясь минутной слабости, разочарованные, мы готовы поверить в то, что идеальная ситуация вообще нигде не воплощается, существует только в нашем воображении, и перестаем ее искать. Плоскость наших поисков замыкается в серой повседневности — а здесь значительно легче наполнить ее каким-нибудь содержанием.

фундаментальным свойством нашего языка. По мысли известного математика В.В. Налимова, построившего вероятностную модель языка, каждое слово содержит в себе множество смыслов, и они раскрываются, «распаковываются» по мере того, как объединяются во фразы** . Смысл каждой фразы, в свою очередь, зависит и от контекста, и от настроя слушателя, и благодаря этому возникает возможность передачи весьма ограниченным запасом слов бесконечности мира, взаимосвязи множества явлений. С математической точки зрения это означает, что обязательно существует связь («корреляция», говоря вероятностным языком) между миром известных понятий и непознанным.

Как проникнуть в этот мир? Как математические модели, так и примеры из мифологии свидетельствуют, что для этого необходимо ощущение пространства, находящегося за рамками наших привычек, дотянутся до которого можно путем аналогий, ассоциаций, выстраивания новых понятий — неожиданных и переворачивающих сознание, вопреки законам простой «линейной» логики.

Иногда этому помогает судьба, проводящая нас через множество жизненных испытаний, в которых просто невыносимо оставаться в рамках прежних «плоских» понятий. И тогда через боль и страдания, через отказ от дорогого «привычного мирка» мы приходим к новым, более широким горизонтам. И тогда, свободные от рамок, мы с облегчением улыбаемся нашим прежним «плоским» представлениям, где в любом начальнике мы готовы узнавать короля Артура, а в иноплеменных вождях искать родные черты.

Сноски: * Чужое: опыты преодоления. Очерки из истории культуры Средиземноморья. — М.: Алетейа, 1999. — 384 с. ** В.В. Налимов. Спонтанность сознания: Вероятностная теория смыслов и смысловая архитектоника личности. — М.: Изд-во «Прометей», 1989. — 288 с.