Статья: Много битов из ничего

Высказывание (π′1) позволяет отбросить некоторые произведения, (σ′1) – некоторые суммы.

Из (σ′1) вытекает, что s0 не представимо в виде суммы двух простых чисел: если s0 = q1 + q2, где q1, q2 – простые, то число q1·q2 единственным образом разлагается в произведение двух множителей, удовлетворяющих неравенствам (1), (2), и, следовательно, не обладает свойством (π′1).

Но любое чётное число, удовлетворяющее неравенствам (2), представимо в виде суммы двух простых (это доказывается последовательной проверкой чисел 4, 6, 8, .... 98).

Следовательно, s0 – нечётное. Кроме того, s0–2 – составное: иначе s0 = 2 + (s0 – 2) представлялось бы в виде суммы двух простых. После отбрасывания чисел, не удовлетворяющих этим двум условиям, для s0 остаётся 24 возможности.

Выше мы воспользовались тем, что все чётные числа от 4 до 98 представимы в виде суммы двух простых.

В 1742 г. член Петербургской Академии наук Христиан Гольдбах в письме к Леонарду Эйлеру высказал предположение, что любое нечётное число, большее пяти, может быть представлено в виде суммы трёх простых чисел. В ответном письме Эйлер выдвинул гипотезу, что каждое чётное число, большее двух, представимо в виде суммы двух простых чисел. (Из гипотезы Эйлера гипотезу Гольдбаха вывести очень легко – сделайте это!)

В течение почти двухсот лет гипотезы Гольдбаха и Эйлера казались совершенно недоступными для доказательства, хотя непосредственным перебором математик Миле проверил их до 9 000 000.

В 1930 г. замечательный советский математик Л. Г. Шнирельман доказал существование такого k, что каждое натуральное число n > 1 может быть представлено в виде суммы не более k простых чисел. Число k у Шнирельмана было довольно велико. В настоящее время доказано, что теорема Шнирельмана верна при k = 20.

В 1934 г. академик И. М. Виноградов доказал существование такого n0, что любое нечётное число n > n0 представимо в виде суммы трёх простых чисел. Казалось бы, в век ЭВМ можно было бы поручить машине проверить «остальные» числа (от 7 до n0), но «постоянная Виноградова» n0 так велика (по последним оценкам n0 > 265536), что эта проверка превосходит возможности современных ЭВМ.

В доказательстве же гипотезы Эйлера до сих пор не достигнуто никакого существенного успеха.

3. Дальше в лес

Оказывается, из (σ′1) можно вывести, что

s0 < 55.

(3)

В самом деле, предположим, что s0 ≥ 55. Тогда s0 не обладает свойством (σ′1): можно так разложить его в сумму двух слагаемых, удовлетворяющих неравенствам (1), что для их произведения не будет выполнено условие (π′1). Это разложение: s0 = (s0 – 53) + 53. Из s0 ≥ 55 вытекает s0 – 53 ≥ 2. Произведение (s0–53)·53 единственным образом разлагается на два множителя, сумма которых меньше ста: поскольку 53 – простое число, один из множителей обязательно имеет вид 53d; так как 53·2 > 100, d = 1. Но по условию s0 обладает свойством (σ′1). Противоречие!

После (3) для s0 остается уже 11 возможностей:

11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53.

(4)

Попробуем теперь без перебора установить, какие из чисел (4) удовлетворяют условию (σ′1). Пусть s – произвольное из чисел (4). Поскольку s нечётно, всякое его разложение в сумму имеет вид s = 2а + m. Допустим, s не обладает свойством (σ′1). Тогда найдётся такое а, что произведение 2a·m «расшифровывается» однозначно.

Это a не может равняться единице, так как в этом случае s = 2 + m, а произведение 2m двояко разлагается в произведение. В самом деле, поскольку m = s–2 – составное нечётное число, m = pq, где р > 2 и q > 2. Оба разложения

2m = 2·pq = 2p·q

годятся: 2 + pq = 2 + m = s < 100 и 2p + q = 2 + pq – (p – 1)(q – 2) < 2 + pq < 100.

Значит, a ≥ 2.

Если a ≠ m, то 2a·m и 2m·a – два различных разложения. Поскольку 2a + m = s < 100 и s не обладает свойством (σ′1), должно быть 2m + a ≥ 100. Так как s = 2a + m ≤ 53, имеем m ≤ 53 – 2a, 2m + a ≤ 106 – 3a. Из 2m + a ≥ 100 и 2m + a ≤ 106 – 3a вытекает a ≤ 2. Следовательно, a = 2. Из 2m + a ≥ 100 и m ≤ 53 – 2a получаем теперь m = 49. Итак, в этом случае s = 53, причём «подозрительным» является разложение 53 = 4 + 49.

Если же a = m, то s = 3a делится на 3. В (4) таких чисел два: 27 и 51. «Подозрительными» являются разложения 27 = 9 + 18 и 51 = 17 + 34.

Число 51 действительно не обладает свойством (σ′1): 51 = 17 + 34, и произведение 17·34 при разложении на два множителя даёт только одну сумму, меньшую ста. Таким образом, его можно выбросить из списка «кандидатов в s0».

Числа 27 и 53 удовлетворяют условию (σ′1): 9·18 = 2·81 и 2 + 81 < 100; 4·49 = 7·28 и 7 + 28 < 100.

Итак, для дальнейшего исследования осталось 10 кандидатов: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53, причём все они обладают свойством (σ′1).

4. «Тогда и я их знаю»

Используем, наконец, (π2) и (σ2).

Можно было бы истолковать (π2) и (σ2) подобно тому, как мы это сделали с (π1) и (σ1). Мы попробуем обойтись без этого.

Из (σ2) и (3) можно вывести

s0 < 33.

(5)

Допустим противное: s0 ≥ 33. Тогда математик S, разлагая всеми возможными способами s0 в сумму двух слагаемых, имел бы среди этих разложений s0 = (s0 – 31) + 31 = (s0 – 29) + 29.